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Aplicación de la teoría de Grupos a la consulta oracular


Autor: Ing. Raśl Jurovietzky

En este artículo vamos a ejemplificar lo propuesto en la colaboración enviada por el Licenciado Javier Martínez de la Casa.

 

1-¿Qué es un grupo en Matemática?

Es un conjunto (finito o infinito) de elementos que cumple, a través de una operación matemática (o lógica) determinada (generalizable con el símbolo *), con una serie de propiedades (que veremos un poco más adelante).

En la aplicación que estamos considerando (I Ching), dicho conjunto será un conjunto finito compuesto por 64 elementos, los 64 hexagramas. A este conjunto lo denominamos: H

Es decir tenemos; H1 ; H2 ; … ; H64

Si tomamos la secuencia de hexagramas del rey Wen tendremos:

 

 

Llamamos orden de un grupo finito al número de sus elementos.

Un ejemplo de conjunto infinito es el de los números enteros:

Z = {…-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 …}

El operador que se aplica entre cada dos elementos del conjunto (*) se denomina: Ley de Composición Interna.

Esta ley de composición interna aplicada a dos elementos del conjunto permite definir un tercer elemento del mismo:

Z1 * Z2 = Z3

En el ejemplo de los números enteros, podemos tomar como operador a la adición y tendremos:

1 + 2 = 3 ; 2 + 5 = 7 ; -1 + 2 = 1 ; -3 + 2 = -1  etc. etc.

La ley de composición interna así definida es la suma.

 

2- Propiedades que debe cumplir un conjunto para formar grupo

Para que el conjunto pueda ser definido como grupo (G) debe cumplir las siguientes condiciones:

 

I- Propiedad Asociativa

Dados tres elementos arbitrarios a, b, c de G, vale la relación:
                       (a * b) * c = a * (b * c)

Cuando, por ejemplo, * es la adición + :
                       (a + b) + c = a + (b + c)

En el caso de los enteros:
                       (1 + 3) + 5 = 1 + (3 + 5)
                              4  +  5 = 1 + 8
                                      9 = 9

Vemos que se cumple la propiedad asociativa

 

II- Existencia del elemento neutro
    Entre los elementos del conjunto G existe un elemento llamado elemento neutro (denotado por 0), tal que satisface:
                                 a * 0 = 0 * a = a
para todo elemento a de G.

Ejemplo:   3 + 0 = 0 + 3 = 3,  para los enteros (Z) con la adición como ley de composición interna, el número 0 es el elemento neutro.

 

III- Existencia de elemento opuesto para todo elemento del conjunto

Para todo elemento a de G, existe un elemento –a de G que satisface la igualdad

a * (-a) = (-a) * a = 0   (0 como elemento neutro).

Para el caso del conjunto de los enteros (Z) con la adición como ley de composición interna sería, por ejemplo:

3 + (-3) = (-3) + 3 = 0

 

Existiendo estas tres propiedades para el conjunto decimos que este forma un grupo G

Por los ejemplos dados vemos que el conjunto de los números enteros (Z) con la ley de composición interna * = + constituye un grupo.

Las tres condiciones reciben el nombre de Axiomas de definición de grupo.

Si un grupo G, además de satisfacer sus tres axiomas de definición, satisface la siguiente condición:

 

IV- Propiedad Conmutativa

a * b = b * a

 

para todos los elementos de G, se llama grupo Abeliano o Conmutativo.

Estamos ahora en condiciones de analizar el conjunto finito de hexagramas.

 

3- Los 64 hexagramas constituyen un grupo (H)

Tenemos que demostrar que el conjunto de los 64 hexagramas constituye un grupo en relación a una ley de composición interna denominada diferencia simétrica o por otra designación XOR. El símbolo usual del operador lógico correspondiente es: ^

Recordamos en primer lugar la tabla correspondiente a este operador lógico, que fue dada en un artículo anterior (Elementos de Algebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching– T. N° 11).

 

 

O sea que el resultado es 1 solamente si una y nada más que una de las entradas es 1, y el resultado es 0 de otra manera.

También recordamos que ‘1’ simboliza al rasgo yang y ‘0’ al rasgo yin.

Entonces un hexagrama como el 36 en la secuencia del rey Wen

 

 

puede ser expresado, como hace Javier como: (101000), sin hacer por ello referencia a una numeración binaria. Si lo hiciéramos poniendo (101000)2 estaríamos postulando que el bit menos significativo es la línea superior y que la lectura a partir de ella es descendente. Lo que hace Javier es el reemplazo por unos y ceros comenzando por el trigrama inferior.

Trigrama inferior:    1 0 1    (Li)

Trigrama superior:  0 0 0     (K’un)

Hemos dicho que en este caso la ley de composición interna (*) será el operador lógico  ^  (diferencia simétrica, XOR).

Así será     Hx ^ Hy = Hz

Con estos elementos comencemos a verificar el cumplimiento de las propiedades que caracterizan a los grupos.

 

I- Propiedad Asociativa

Tomemos como ejemplo una terna de hexagramas cualquiera:

Hx = (101011) ; Hy =(001111) ; Hz = (111000)

Queremos comprobar si: (Hx ^ Hy) ^ Hz = Hx ^ (Hy ^ Hz)

Veamos primero que resulta de Hx ^ Hy

(101011) ^ (001111)

Recordamos que la operación se realiza rasgo por rasgo con aplicación de la operatoria antes indicada:

1 ^ 0 = 1 ; 0 ^ 0 = 0 ; 1 ^ 1 =0 ; 0 ^ 1 = 1

(101011) ^ (001111) = (1 ^ 0 , 0 ^ 0 , 1 ^ 1 , 0 ^ 1 , 1 ^ 1 , 1 ^ 1)

Hx ^ Hy = (100100)

Ahora operamos este resultado parcial con Hz

(Hx ^ Hy) ^ Hz = (100100) ^ (111000) = (011100)

Debemos operar ahora comenzando por Hy ^ Hz

Hy ^ Hz = (001111) ^ (111000) = (110111)

Y será: Hx ^ (Hy ^ Hz) = (101011) ^ (110111) = (011100)

Se ha verificado para este ejemplo el cumplimiento de la propiedad asociativa. Ello es generalizable para todas las ternas posibles de hexagramas.

 

II- Existencia del elemento neutro

Tomemos como ejemplo un hexagrama como el Hx = (101011) y llamemos Hn al hexagrama que resulta ser el elemento neutro

Hn = (a b c d e f)

En lugar de unos y ceros hemos nombrado las distintas líneas con letras (a corresponde a la línea inferior del hexagrama).

Se debe cumplir que:  Hx ^ Hn = Hx  o sea que:

(101011) ^ (a b c d e f ) = (101011)

Vamos a determinar cuales son las líneas del elemento neutro.

Operando línea por línea debe ser:
                       1 ^ a = 1       Entonces   a = 0
                       0 ^ b = 0       Entonces   b = 0
                       1 ^ c = 1       Entonces   c = 0
                       0 ^ d = 0       Entonces   d = 0
                       1 ^ e = 1       Entonces   e = 0
                       1 ^ f = 1       Entonces    f = 0

Por consiguiente el elemento neutro es:

Hn = (000000)

En la secuencia del rey Wen corresponde a H2

Lo obtenido es generalizable para todos los hexagramas.

 

III- Existencia del elemento opuesto (simétrico) para todo elemento del conjunto

Sea Hx = (101011) y llamemos  -Hx  al opuesto.

-Hx = (a b c d e f)

Debe cumplirse que:   Hx ^ (-Hx) = Hn = H2

En el ejemplo:   (101011) ^ (a b c d e f) = (000000)

Operando rasgo por rasgo:

1 ^ a = 0   entonces  a = 1

0 ^ b = 0   entonces  b = 0

1 ^ c = 0   entonces  c = 1

0 ^ d = 0   entonces  d = 0

1 ^ e = 0   entonces  e = 1

1 ^ f = 0   entonces  f = 1

Con lo que el opuesto (simétrico) del Hx es:

-Hx = (101011)

O sea es el mismo Hx:    Hx = -Hx

Esto es generalizable para todos los hexagramas y podemos decir que el opuesto (simétrico) de todo hexagrama es el mismo hexagrama.

Cuando esto sucede para un elemento del conjunto, éste se denomina elemento involutivo. Cuando todos los elementos de un conjunto son involutivos el grupo se llama grupo involutivo como indica Javier en su trabajo. Éste se pregunta por el uso de un término tan radical como es lo de involutivo. Trataremos de esbozar una posible respuesta:

Supongamos que tenemos una terna de hexagramas Hx , Hy , Hz tales que  Hz = Hx ^ Hy 

Si al Hz lo hacemos operar con el Hy tendremos (Hx ^ Hy) ^ Hy

Ejemplifiquemos: sean  Hx = (101011) y  Hy = (000111)

Resulta  Hz = Hx ^ Hy = (101011) ^ (000111) = (101100)

Ahora apliquemos a este resultado otra vez la operación XOR con Hy:

Hz ^ Hy = (101100) ^ (000111) = (101011)

Hemos obtenido nuevamente Hx = (101011)

Si generalizamos vemos que esto se cumple para todo par de hexagramas, veamos:

(Hx ^ Hy) ^ Hy = Hx ^ (Hy ^ Hy)

Por aplicación de la propiedad asociativa.

En general resulta que:  Hy ^ Hy = Hn = (000000)

Entonces:  (Hx ^ Hy) ^ Hy = Hx ^Hn = Hx

Esta característica es la que justifica el nombre del que se preguntaba Javier su origen: Grupo Involutivo.

En la operación de adición de enteros, no tenemos involución, por ejemplo:   -3 + 2 + 2 = 1 y no -3. Hay evolución. Es diríamos un grupo evolutivo.

Con lo visto hasta ahora tenemos que los 64 hexagramas constituyen un grupo pues cumplen los tres axiomas que se requieren para ello. Son un Grupo Finito Involutivo.

Pero también cumplen con la propiedad conmutativa.

 

IV- Propiedad Conmutativa

 

Hx ^ Hy = Hy ^ Hx

Veámoslo generalizando:

Si llamamos Hx = (a b c d e f) ;  Hy = (g h i j k l)  en las que las letras son unos y ceros, resulta:

Hx ^ Hy = [(a ^ g) (b ^ h) (c ^ i) (d ^ j) (e ^ k) (f ^ l)]

Y como el operador diferencia simétrica es conmutativo:

a ^ g = g ^ a ; b ^ h = h ^ b ; c ^ i = i ^ c ; d ^ j = j ^ d ,

e ^ k = k ^ e ; f ^ l = l ^ f  podemos escribir:

Hx ^ Hy = [(g ^ a) (h ^ b) (i ^ c) (j ^ d) (k ^ e) (l ^ f)]

El segundo miembro de la igualdad anterior es   Hy ^ Hx  entonces resulta: Hx ^ Hy = Hy ^ Hx

Se cumple la propiedad conmutativa para todos los pares de hexagramas bajo la ley de composición interna XOR.

Al cumplirse también con esta propiedad se justifica el decir que nos encontramos con un Grupo Abeliano.

Hemos así ejemplificado lo expresado por Javier en cuanto a que los 64 hexagramas del I Ching constituyen un Grupo Finito Abeliano e Involutivo para la ley de composición interna XOR.

 

4- Aplicación de lo analizado a la consulta oracular

De una consulta oracular obtenemos 1 ó 2 hexagramas.

Un hexagrama cuando todas las líneas obtenidas son fijas, dos hexagramas cuando existen líneas móviles.

Siguiendo la notación indicada por Javier: un hexagrama inicial (Hi) y un hexagrama final (Hf).

Cuando todas las líneas son fijas podemos decir, para generalizar, que el hexagrama final es idéntico al inicial.

Sea, por ejemplo, que tenemos como hexagrama inicial al 42- I/El Aumento Hi = (100011)

Si todas las líneas resultaran fijas es como decir que el hexagrama final es el mismo: Hf = (100011)

Recordando que la ley de composición interna es XOR (^) tendremos ^ Ht =

 

En la anterior Ht es lo que Javier denomina Hexagrama Transformador.

Si expresamos al hexagrama transformador como:

Ht = (a b c d e f)

Tendremos:   (100011) ^ (a b c d e f) = (100011)

Por lo ya visto está claro que Ht , en este caso, debe ser el hexagrama neutro:  Hn = H2 = (000000) , pues así resulta:

(100011) ^ (000000) = (100011)

Cuando en la consulta oracular obtenemos un hexagrama inicial con líneas fijas y móviles, está claro que las líneas fijas no se modifican en el hexagrama final. Por ello en el hexagrama transformador se deben corresponder ceros para que se mantengan los rasgos fijos.

Las líneas móviles del hexagrama inicial pasan a ser su contraria en el hexagrama final (mutan).

O sea, los ceros pasan a ser unos y los unos pasan a ser ceros.

Para que los ceros pasen a ser unos, de acuerdo a la tabla correspondiente ya vista de la operación XOR, el rasgo correspondiente del hexagrama transformador debe ser 1.

De la misma forma, para que los unos pasen a ser ceros, los rasgos correspondientes del hexagrama transformador deben ser 1s.

Entonces en el hexagrama transformador todas las líneas móviles corresponden a 1s. y todas las líneas fijas corresponden a 0s.

Así tenemos, por ejemplo, el caso dado por Javier en el que obtenemos en la consulta el hexagrama 36 con la quinta y la sexta líneas móviles. Resulta el Hi (101000).

De acuerdo a lo visto el hexagrama transformador será:

Ht H20 = (000011)

El hexagrama final será entonces:

Hf = (101000) ^ (000011) = (101011) = H37

Al decir de Javier: “36 pasa a 37 a través de 20”

Con lo anterior hemos completado el análisis y la ejemplificación de lo propuesto por el Licenciado Javier Martínez de la Casa.


 

Autor: Ing. Raúl Jurovietzky

 

 

 

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Raśl Jurovietzky
Ingeniero
E-Mail: rauljuro@saiching.org

 




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