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Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(Cuarta Parte)




Autor: Ing. Raśl Jurovietzky


Podemos ahora pasar a considerar el punto 3 de la sección 3.1.1 (ver parte tercera de este artículo).

 

3.1.2.3- Determinación del tipo especial de clase de equivalencia   denominado HEC por R. Cook (Hexagram Equivalency Class)

 

Hemos dicho ya que Cook indica que la unidad fundamental para el análisis es un subconjunto de los 64 hexagramas determinado por una clasificación por invertibilidad.

¿Qué es esta clasificación por invertibilidad?

En cada matriz de 64 hexagramas tenemos que algunos de ellos al ser invertidos vuelven a dar el mismo hexagrama. Estos, como ya mencionamos con anterioridad, son denominados “No INvertibles” y abreviadamente NIN. Aparecen en cantidad de 8:

 

 

El resto:  64 – 8 = 56 son INVertibles (INV), lo que indica que al invertirlos dan un hexagrama distinto a ellos mismos.

Por ejemplo: al invertirlo da:

 

Los 8 hexagramas NIN dan 8 clases de equivalencia cada una compuesta por un hexagrama NIN.

Los 56 hexagramas INV dan lugar a 56 : 2 = 28 clases de equivalencia cada una compuesta por dos hexagramas: Un hexagrama INV y su invertido.

Los HEC resultan de tomar a estas 36 clases de equivalencia (8 + 28 = 36) y asignar a cada una un representante único.

Si los hexagramas son NIN ellos mismos van a representar a las 8 clases de equivalencia que constituyen. En cambio si los hexagramas son INV debemos asignar a uno de los dos que forman una clase como representante de ella.

Como criterio operativo vamos a decir que si recorremos una matriz de 8 x 8 o sea 64 hexagramas desde la fila superior, de izquierda a derecha, luego bajando fila a fila y siempre de izquierda a derecha, designaremos como representante de cada clase al primer hexagrama de la misma que aparezca. Así determinamos 28 hexagramas “representantes” de estas 28 clases.

Si a estos 28 hexagramas INV les añadimos los 8 NIN tendremos los 36 hexagramas “representantes”.

A la matriz de 6 x 6 formada por estos 36 hexagramas la denominamos: matriz de los HEC. Entonces serían los HEC los hexagramas “representantes” de las clases de equivalencia definidas.

 

Antes de pasar a ver un ejemplo aclaratorio de lo expresado, vamos a dar un par de notaciones, equivalentes entre sí, para designar a un hexagrama de la matriz de 64 hexagramas.

  1. Ubicación por posición fila-columna en la matriz
    La designación genérica de cualquier elemento de la matriz será: Hij

    El primer subíndice indica la fila (i) y el segundo la columna (j), tenemos así en la matriz de 64 hexagramas:

 

  1. Ubicación por numeración (N°) desde 0 hasta 63

 

 

Hay una correspondencia entre las dos notaciones y es sencilla la ley de pasaje de una a la otra:

N° = 8 x i + j – 9

Así, por ejemplo:  H28 en notación fila-columna conduce a:

8 x 2 + 8 – 9 = 15,  H15 en notación 0-63.

Si, a la inversa, queremos pasar de la notación 0-63 a la notación fila-columna debemos empezar por analizar el valor  N° + 9

Cuando  N° + 9  es múltiplo de 8 – esto ocurre cuando  j = 8 – encontramos que

i = (N° + 9) : 8 – 1 ; j = 8

Cuando   N° + 9  no es múltiplo de 8:  i es el cociente entero de (N° + 9) : 8  ,   j  es el resto de la división.

Por ejemplo, sea  N° = 15:   N° + 9 =15 + 9 = 24 es múltiplo de 8

entonces ya sabemos que

j = 8  y será  i = (15 + 9): 8 – 1 = 2

O sea que en notación fila-columna tenemos:  H28

Otro ejemplo: supongamos que en notación 0-63 sea

N° = 56, H56

N° + 9 = 56 + 9 = 65 ,  65 no es múltiplo de 8 entonces:

i = Cociente de (N° + 9) : 8,   (56 + 9) : 8 = 65 : 8 = 8 + 1 : 8

Cociente = i = 8  ;  Resto = j = 1

Ha resultado que en notación fila-columna tenemos   H81

Los resultados de ambos ejemplos los podemos verificar con las dos matrices dadas con anterioridad.

 

Ahora veamos un ejemplo aclaratorio para la determinación de una matriz de 36 HEC a partir de la matriz de 64 hexagramas.

Tomemos para ello la matriz de hexagramas de Fu-Hsi – en la notación de Cook: (19: 11001).

 

 

Recorriéndola en los sentidos indicados con anterioridad escribamos bajo cada hexagrama los números de tal modo que si el hexagrama es INV luego de numerarlo buscaremos el otro de su clase (el invertido) y le adjudicaremos el mismo número pero con una tilde para diferenciarlo. Así los que no llevan tilde serán los representativos de su clase.

 

 

Los NIN que vayamos encontrando en el recorrido son únicos.

En el caso de ejemplo los NIN serán: 1-12-17-25-27-32-34-36

Ahora formamos una matriz de 6 x 6 con los hexagramas cuyos números no llevan tilde:

 

 

Esta es la matriz de 36 HEC correspondiente a la matriz de Fu-Hsi de 64 hexagramas.

Ahora que sabemos como se construyen las matrices de los 36 HEC apliquemos lo aprendido haciendo un poco de ‘ingeniería inversa’ sobre la secuencia de hexagramas del rey Wen.

 

3.1.2.4- Construcción de la matriz HEC correspondiente a la secuencia del rey Wen

 

Primero, como antes, en la matriz de 64 hexagramas correspondiente a la secuencia del rey Wen hacemos la separación en clases de equivalencia para determinar los 36 HEC, esto lo ponemos de manifiesto a través de la numeración de las clases con y sin tilde, luego formaremos la matriz de los HEC, con el mismo criterio que hicimos en el ejemplo anterior.

Recordamos que Cook denomina como  sP a la matriz de 64 hexagramas y como  sO a la matriz de 36 hexagramas, estas dos son los últimos superconjuntos principales de sus deducciones.

 

 

En este caso, dadas las características de la estructura de la secuencia del rey Wen en la que los opuestos por inversión de hexagrama se hallan juntos, se nos facilita la tarea de separación por número en clases de equivalencia.

Ahora podemos construir la matriz de 36 hexagramas representantes de las clases de equivalencia – esta matriz es la denominada por Cook sO

 

 

Seguiremos haciendo un poco de ‘ingeniería inversa’ trabajando esta última matriz con los criterios de ‘género’ para llegar a otro esquema matricial de 18 columnas y 3 filas.

 

3.1.2.5 – Aplicación de los criterios de ‘género’ a la matriz HEC de la secuencia del rey Wen

 

En primer lugar explicitaremos que se entiende por ‘género’ aplicado a los hexagramas.

La clasificación de los mismos se hará de acuerdo a tres posibilidades: Masculino (M), Neutro (N) y Femenino (F)

1 - Diremos que un hexagrama es masculino (M) cuando la cuenta de sus trazos Yang resulta minoritaria respecto a la cuenta de sus trazos Yin. Además de lo anterior el hexagrama que tiene todas sus líneas Yang también es masculino (M).

2 – Diremos que un hexagrama es neutro (N) cuando la cuenta de sus líneas Yang iguala a la cuenta de sus líneas Yin.

3 – Diremos que un hexagrama es femenino (F) cuando la cuenta de sus líneas Yang es mayor a la cuenta de sus líneas Yin. Además de lo anterior el hexagrama que tiene todas sus líneas Yin también es femenino.
 

Ahora pasaremos a vincular esta clasificación con la matriz de los HEC correspondientes a la secuencia de hexagramas del rey Wen (sO).

Vimos que esta matriz está compuesta por 36 hexagramas.

En la nueva matriz de 3 filas que vamos a construir (fila M, fila N y fila F) los apareamientos de columna se producen de a dos hexagramas, entonces podemos tener:  M-F, M-N, N-F

Por lo anterior si tenemos apareamientos de a dos por columna y los hexagramas (HEC) son 36, ello indica que la nueva matriz estará constituida por 18 columnas (36 : 2 = 18).

La construcción la realizaremos siguiendo el orden indicado en la matriz de los 36 HEC, para ello numeraremos primero los hexagramas de la matriz de 6 x 6:

 

 

Ahora armamos una estructura que tenga las filas y columnas adecuadas y siguiendo la numeración en pares vamos ubicando los hexagramas según su ‘género’.

 

 

Las flechas indican el sentido en que aparecen los pares tomados de la matriz de 36 HEC. Observamos que sólo aparece una inversión ubicada en la columna 13 e indicada además sobre la fila de los neutros con una suerte de X.

Este esquema trae elementos interesantes relativos a la estructuración de la secuencia del rey Wen, en especial la consideración de los hexagramas correspondientes a la fila de los neutros que es crucial para dicha estructuración. El análisis de esta fila nos remitirá al punto cuatro de la sección 3.1.1 enunciado en la tercera parte del presente artículo – secuencia de Fibonacci y sección Áurea.

Es necesario indicar que no va a ser la única oportunidad en que se ponga de manifiesto la cualidad estructuradora de dicha secuencia, esto es manifiestamente mostrado en repetidas oportunidades en el trabajo de Richard Cook.

 

3.1.2.6 – Análisis de la matriz de 3 x 18 para comenzar a apreciar el papel estructurador que juega la secuencia de Fibonacci en el ordenamiento secuencial de hexagramas del rey Wen

 

Vamos en primer lugar a agregar la numeración a la matriz de 3 x 18 anterior:

 

 

Consideremos la ‘distancia’ entre los hexagramas de la fila neutra – contando para ello los hexagramas intermedios que están en las otras filas – dejando los dos extremos de cada lado de la fila neutra sin evaluar y procediendo de la derecha hacia la izquierda:

Entre 31-30 no hay hexagramas intermedios: 0

Entre 30-27 hay 2 hexagramas intermedios (29 y 28): 2

Entre 27-24 hay 2 hexagramas intermedios (26 y 25): 2

Entre 24-19 hay 4 hexagramas intermedios (23, 22, 21, 20): 4

Entre 19-12 hay 6 hexagramas intermedios (18, 17, 16, 15, 14, 13): 6

Vemos que se ha formado secuencia siguiente

0 – 2 – 2 – 4 – 6

Esta secuencia es la denominada en el texto de Cook como: G2 y los números que la componen resultan de la duplicación de los números de otra secuencia que es denominada: G1 cuyos números serían entonces:   0 – 1 – 1 – 2 – 3

Estos números corresponden a los primeros de la denominada secuencia de Fibonacci.

A continuación veremos las características de esta secuencia y su vínculo con la denominada sección Áurea.

 

3.1.2.7 – Secuencia de Fibonacci y sección Áurea.

 

¿Qué es la secuencia de Fibonacci?

Es una secuencia de números llamados ‘números de Fibonacci’.

¿Quién fue Fibonacci?

Bajo este nombre fue conocido Leonardo de Pisa. Su padre se llamaba Bonacci y él era Filius Bonacci (el hijo de Bonacci) lo que da como contracción: Fibonacci.

Nació en Pisa y vivió entre 1170 y 1250. Entró desde joven en contacto con la cultura árabe y se interesó especialmente por sus matemáticas.

Su obra principal fue el “Liber Abaci” (Libro acerca del Ábaco), una extensa obra que contiene casi todo el conocimiento algebraico y aritmético de la época.

Fibonacci propuso el siguiente problema:

“Una determinada pareja de conejos, a partir del segundo mes de vida tiene mensualmente una pareja de conejos, la cual a partir del segundo mes tiene también mensualmente una pareja de conejos, y así sucesivamente”.

El problema pedía calcular cuantas parejas de conejos existen en total al comenzar cada mes.

Si llamamos:    r – parejas  recién nacidas

                       a – parejas adultas (de un mes o más de vida)

                       t – total de parejas

Formando una tabla que muestre la situación mes a mes, tendremos, considerando que cada pareja de adultos da una pareja de recién nacidos al mes siguiente:

 

 

Y así sigue indefinidamente la tabla.

El número total de parejas mes a mes constituyen los llamados ‘números de Fibonacci’. Completando con el número cero tendremos:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …}

Y esta es la secuencia de Fibonacci, a la que Cook denominará en su estudio, para abreviar, como: G1

También utiliza Cook la designación: G2

Con esta se refiere a una secuencia de Fibonacci cuyos números se encuentran duplicados:

G2 = {0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, …}

Como se aprecia, dados dos números consecutivos de la secuencia el que sigue en la misma viene dado por la suma de los dos anteriores.

Entonces, entre los números de la secuencia existe una relación de recurrencia.

¿Qué es una relación de recurrencia?

Dada una secuencia de números:  a 0 , a 1 , a 2 , … , a n , …
una ecuación que relaciona un número a n a alguno o algunos de sus antecesores en la serie, para cualquier n, es llamada relación de recurrencia, también se la llama ecuación en diferencias. Para iniciar el cálculo uno debe conocer uno o varios números de la secuencia, que se denominan: condiciones de contorno.

La secuencia G1 puede ser descripta por la relación de recurrencia (o ecuación recurrente):

a n = a n-1 + a n-2

Correspondientemente tenemos dos condiciones de contorno:

a 0 = 1   a 1 = 1

Cook en su estudio denomina a estas condiciones de contorno como

F1 y F2 o sea F1 = F2 = 1

Para la secuencia G2 los valores de contorno son

F1 = F2 = 2

 

Intermedio Matemático

Este intermedio tiene por objeto hallar el término genérico de la secuencia de Fibonacci: a n , solamente en función del valor n, lo que permitirá ver la relación que existe entre esta secuencia y la sección áurea  (división en media y extrema razón o división en extrema y media razón – a las que Cook abrevia en su estudio como DMER y DEMR respectivamente).

Los lectores que no tengan los conocimientos matemáticos o el interés necesario pueden sin remordimientos evitar este intermedio reteniendo solamente sus resultados finales.

Las consideraciones que siguen han sido tomadas del libro “Introduction to Combinatorial Mathematics” cuyo autor es: C. L. Liu

 

Empezaremos por considerar una relación genérica de recurrencia lineal (ecuación lineal de diferencias) con coeficientes constantes:

C 0 a n + C 1 a n-1 + C 2 a n-2 + … + C r a n-r = f(n)             (1)

La solución de la ecuación (1) está determinada unívocamente por los valores de varias a (r aes) consecutivas (condiciones de contorno). O sea, dicho de otro modo, la forma general de la ecuación (1) contiene r constantes indeterminadas. Estas constantes pueden ser determinadas por r valores consecutivos de las aes de la secuencia.

Similarmente a la solución de una ecuación diferencial la solución de una ecuación lineal de diferencias con coeficientes constantes es la suma de dos partes:

1 – la solución de la homogénea [en la cual f(n) = 0]
2 – la solución de la particular que satisface el valor f(n) del miembro derecho de la ecuación.

Digamos que  a n(h) denota la solución de la homogénea y  a n(p)  la solución de la particular de la ecuación a diferencias.
Como:

         C 0 a n(h) + C 1 a n-1(h) + … + C r a n-r(h) = 0
y             C 0 a n(p) + C 1 a n-1(p) + … + C r a n-r(p) = f(n)
tendremos que:

C 0 (a n(h) + a n(p)) + C 1 (a n-1(h) + a n-1(p)) + … + C r (a n-r(h) + a n-r(p)) = f(n)

La solución completa:  a n(h) + a n(p)  satisface la ecuación y está determinada por las condiciones de contorno.

La solución de la homogénea de una ecuación lineal de diferencias es de la forma:

a n(h) = Aα 1n  donde α 1 es llamada una raíz característica y A es una constante determinada por las condiciones de contorno. Sustituyendo a n  por Aα n en la ecuación de diferencias con el segundo miembro nulo, obtenemos:

C 0n + C 1n-1 + C 2n-2 + … + C rn-r = 0

Esta última se puede simplificar dando el polinomio:

C 0 α r + C 1 α r-1 + C 2 α r-2 + … + C r = 0

Este polinomio es denominado como: ecuación característica de la ecuación de diferencias.

Una ecuación característica de grado r tiene r raíces características.

Supongamos que las raíces de la ecuación característica son distintas. Se verifica entonces que la solución de la homogénea es:

a n(h) = A 1α 1n + A 2α 2n + … + A rα rn

En la anterior α 1 , α 2 , … , α r  son las distintas raíces características y  A 1 , A 2 , … , A r  son constantes que pueden ser determinadas por las condiciones de contorno.

 

Veamos ahora la aplicación de lo visto en forma general al caso de la secuencia de Fibonacci.

 

La relación de recurrencia para la secuencia de los números de Fibonacci es:

a n = a n-1 + a n-2

O sea que:

a n– a n-1 – a n-2=0

Vemos que los coeficientes C 0 , C 1 y C 2 en este caso particular toman los valores:

C 0 = 1 ;  C 1= - 1 ; C 2 = - 1 

La ecuación característica resulta:

α r – α r-1 – α r-2 = 0 

Dado que el valor de r es 2 queda:

α 2 – α – 1 = 0

Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado resultante:

α 1 = (1 + √1 + 4 ) / 2 = (1 + √5 ) / 2

α 2 = (1 – √1 + 4 ) / 2 = ( 1 –√5 ) / 2

La solución de la homogénea es en este caso la solución completa puesto que f(n) = 0

a n = a n(h) = A 1[(1 +√5) / 2] n + A 2[(1 –√5) / 2] n     (2)

Las dos constantes A 1 y A 2 las determinamos dando las condiciones de contorno ya mencionadas.

Así cuando n = 0  será a 0 = 1 =  A 1 + A 2

Cuando n = 1  será a 1 = 1 = A 1(1 + √5 ) / 2 + A 2(1 – √5 ) / 2

Tenemos así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

– A 1 y A 2

que podemos resolver sin dificultad:

A 1 = 1 – A 2

(1 – A 2) (1 + √5 ) / 2 + A 2(1 – √5 ) / 2 = 1

1 / 2 + √5 / 2 – A 2/ 2 – A 2 √5 / 2 + A 2 / 2 – A 2 √5 / 2 = 1

A 2( - 1 / 2 – √5 / 2 + 1 / 2 – √5 / 2) + 1 / 2 + √5 / 2 = 1

A 2 (- √5 ) = 1 – 1 / 2 – √5 / 2

A 2 = (1 / 2 – √5 / 2 ) / (- √5 )  = [1 / (- √5 )] (1 – √5 ) / 2

Y entonces será: A 1 = 1 – A 2 = 1 + (1 /√5) (1 – √5 ) / 2

A 1 = (1 / √5 ) [ √5 + (1 – √5 ) / 2] = (1 / √5 ) (1 + √5 ) / 2

Reemplazando los valores obtenidos para A 1 y A 2 en la ecuación (2) tendremos finalmente:

a n = (1 / √5 ) { [(1 + √5 ) / 2] n+1 – [(1 – √5 ) / 2] n+1}           (3)

Hemos así obtenido el valor de un número de Fibonacci en función solamente del valor de n.

Pero veamos ahora que es el valor de (1 + √5 ) / 2

A este número se lo denomina: φ luego veremos que se lo ha hecho en homenaje al gran escultor de la Grecia clásica Fidias

Hecho el cálculo correspondiente resulta φ = 1,61803398875…

Este número es el también denominado número de oro que corresponde a la sección Áurea (luego veremos con más detalle lo correspondiente a la misma)

Si ahora observamos el valor de: (1 – √5 ) / 2 este lleva al número:

–0,61803398875… que es igual a  1– φ y también a  – 1 / φ = – φ – 1

Teniendo en cuenta al valor obtenido de φ la ecuación (3) quedará como:

a n = (1 / √5 ) [ φ n+1 – (1 – φ) n+1]                 (4)

Hemos puesto así en evidencia la profunda relación que existe entre la secuencia de Fibonacci y la sección Áurea.

Como luego explicitaremos esto equivale a señalar la profunda relación que existe entre el accionar optimizador evolutivo de la naturaleza y la belleza y la armonía respectivamente.

Antes de considerar lo expresado calcularemos con la fórmula (4) algunos valores de los números de Fibonacci.

Como hemos empezado por los datos de contorno con n = 0

daremos como primer valor a n: n = -1

n = -1

a –1 = (1 /√5 ) [φ 0 – (1 – φ) 0] = 0

n = 0 :

a 0 = (1 / √5 ) [φ 1 – (1 – φ) 1] = (1 / √5 ) [φ – 1 + φ]

a 0 = (1 / √5 ) (2φ – 1) = (1 / √5 ) [2 (1 + √5 ) / 2 – 1] =

a 0 = (1 / √5 ) (1 + √5 – 1) = 1

n = 1

a 1 = (1 / √5 ) [ φ 2 – (1 – φ) 2] = (1 / √5 ) [ φ 2 – 1 + 2φ – φ 2]

a 1 = (1 / √5 ) (2φ – 1) = 1

n = 2

a 2 = (1 / √5 ) [φ 3 – (1 – φ) 3] = (1 / √5 ) [φ 3 – (1 – 3φ + 3φ 2 – φ 3)]

a 2 = (1 / √5 ) (φ 3 – 1 + 3φ –  3φ 2  + φ 3) = 2

n = 3

a 3 = (1 / √5 ) [φ 4 – (1 – φ) 4]

Para desarrollar la cuarta potencia de  (1 – φ) recurrimos a la ayuda del triángulo de Tartaglia a los fines de recordar los coeficientes que tenemos que aplicar en el desarrollo:


      

 

Etc. etc. (tener en cuenta que n aquí es el exponente para  (1 – φ)

Entonces será:

a 3 = (1 / √5 ) [φ 4 – (1 – 4φ + 6φ 2 – 4φ 3 + φ 4) ]

a 3 = (1 / √5 ) (φ 4 – 1 + 4φ – 6φ 2 + 4φ 3 – φ 4)

a 3 = (1 / √5 ) ( 4φ 3 – 6φ 2 + 4φ – 1) = 3

Y así sucesivamente obtenemos los números de Fibonacci directamente en función del valor de n +1 (su posición en la secuencia) y de una constante que resulta ser el número de oro.

Aunque esta forma de calcular los números de Fibonacci sea considerablemente más complicada que el sumar los dos números anteriores, recordemos que aquí el objetivo era mostrar la estrecha relación que existe entre los números de Fibonacci y el número de oro, o sea entre la secuencia de Fibonacci y la sección Áurea.

 

Habíamos dicho con anterioridad que la relación (4):

 

a n = (1 / √5 ) [ φ n+1 – (1 – φ) n+1]

 

ponía de manifiesto la profunda relación que existe entre la secuencia de Fibonacci y la sección Áurea y que ello equivalía a señalar la profunda relación que existe entre el accionar optimizador evolutivo en la naturaleza y la belleza y la armonía respectivamente.

Para apreciar lo dicho empezaremos por discutir la relación entre la secuencia de Fibonacci y el desarrollo evolutivo en la naturaleza para luego ver lo correspondiente a la sección Áurea (las consideraciones que siguen han sido resumidas de varias páginas de Internet).

 

3.1.2.8- La sucesión de Fibonacci en la Naturaleza

 

La sucesión de Fibonacci está estrechamente relacionada con un tipo de curvas que ha fascinado desde los tiempos más remotos al ser humano, las espirales. En especial con la que se conoce como espiral de Durero.

Este tipo de curvas está presente en las manifestaciones de la naturaleza, en los vegetales y animales y en los productos artísticos de nuestra especie.

En este último aspecto se puede decir que no existe ninguna cultura que no las haya utilizado como elemento simbólico, mágico o simplemente ornamental.

Tiene sus manifestaciones ya en el Neolítico.

 

 

La podemos encontrar entre los adornos de las cruces y medallones celtas:

 

 

Aparece entre los motivos ornamentales de las vasijas griegas y en los capiteles jónicos de los templos, como en el pequeño templo de Atenea Niké, situado en la Acrópolis ateniense

 

 

 

Las encontramos también en las sillerías de las catedrales góticas y en la vorágine del arte barroco.

 

 

Bien se dice que “el Arte imita a la Naturaleza”, pues en esta es donde aparecen las espirales en todo su esplendor.

A las espirales se las puede llamar la curva del crecimiento.

El Universo nos da pruebas del desarrollo en espiral de múltiples formas, por ejemplo en las Galaxias en espiral, como la nuestra, la Vía Láctea.

 

 

En los tornados (vistos desde un plano perpendicular a su eje) también tenemos una manifestación de desarrollo en espiral.

 

 

Siempre que en la Naturaleza nos encontramos con un fenómeno que comporta una rotación y una dilatación o contracción aparecerá una espiral.

Con relación al tema que nos interesa centralmente en este momento que es la relación con la secuencia de Fibonacci resulta muy interesante el accionar de la Naturaleza en el mundo vegetal.

En este aparece la espiral en multitud de ocasiones.

Por ejemplo en las piñas de los pinos, los piñones (vistos desde arriba) se distribuyen formando espirales, esto lleva el sentido de una optimización del espacio (aprovechamiento máximo).

 

 

El caso es, que si se cuentan las espirales, en un sentido aparecen 8 y en el otro sentido encontramos 13, o bien los números son respectivamente 5 y 8.

La distribución de las pipas en un girasol también se hace dibujando espirales, la variedad más frecuente tiene 89 espirales en un sentido y 144 en el otro. Otras variedades presentan 55 y 89 respectivamente.

 

 

La margarita también dispone sus semillas en 21 espirales dextrógiras y 34 levógiras. También buscan optimizar el volumen ocupado.

¿Qué nos dicen estos números?

Si desarrollamos los números de Fibonacci tendremos:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Vemos que todos los números indicados en color rojo están implicados en los ejemplos dados anteriormente.

Todos ellos pertenecen a la sucesión de Fibonacci.

Como otro ejemplo en el que los números de Fibonacci están implicados en procesos de optimización en el mundo vegetal tenemos a las ramas y las hojas de las plantas. Estas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas en estos números de Fibonacci.

Lo anterior es lo que respecta al reino vegetal.

En el reino animal, el crecimiento manteniendo la forma es lo normal, se sigue lo que se conoce como espiral logarítmica o de Bernouilli. Una aproximación de la cual es la espiral de Durero que está asociada con la sucesión de Fibonacci, en la forma que explicitaremos un poco más adelante.

Por ejemplo si observamos un caracol en distintas etapas de su vida vemos que sus proporciones se mantienen, el caracol es homotético a si mismo a lo largo de toda su vida, crece de forma autosemejante, la proyección sobre el plano del perfil de su concha describe una espiral logarítmica – la naturaleza en sus producciones, en cuanto trabaja sobre el continuo, no requiere de la regla y el compás, restricción que si hacían los griegos para sus construcciones.

 

 

El crecimiento se produce además sólo por un extremo. Este crecimiento se denomina crecimiento gnómico, lo que indica que se produce por acumulación de partes sucesivas similares en forma y que aumentan de tamaño en proporción geométrica.

La espiral de Durero es una espiral gnómica.

Alberto Durero fue un artista con grandes dotes matemáticas, fundamentalmente fue un gran pintor renacentista (1471-1528) impregnado por la influencia del mundo helénico. Esto le impuso la restricción de las construcciones a través de la regla y el compás. Por ello investiga la representación aproximada de la espiral no uniforme mediante arcos de circunferencias.

En 1525 nos proporciona los métodos para dibujar espirales basadas en el crecimiento gnómico. Estas espirales son las relacionadas con la sucesión de Fibonacci y con el número áureo. En el año mencionado Durero publica un libro titulado: “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”. En él quiere enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar figuras geométricas.

Si bien tres son los tipos de espirales estudiadas, la de Durero es la única que se puede construir con regla y compás. Las otras dos son la de Arquímedes (287-212 a.n.e.) o espiral uniforme:

 

 

Y la otra, la más famosa, la espiral logarítmica, geométrica o equiangular, también conocida como espiral de Bernouilli (siglo XVIII). Este la denominó Spira Mirabilis (espiral maravillosa) por su despliegue en los procesos evolutivos de la Naturaleza. Antes había sido estudiada por Descartes y por Torricelli, pero estos no disponían de la poderosa herramienta del cálculo infinitesimal, por lo que le correspondió el honor a Bernouilli de culminar su investigación.

 

 

 

Jacob Bernouilli descubrió una extraña propiedad, la autosemejanza que relaciona esta espiral con los objetos fractales. Por ejemplo, si en el conjunto de Mandelbrot se realizan sucesivas ampliaciones sobre una de sus partes, se encuentran estructuras semejantes a la del conjunto original y estas vuelven a ser espirales logarítmicas.

La autosemejanza controla las formas fractales.

 

 

Veamos ahora la construcción de la espiral de Durero.

Mencionamos que estaba en relación a los números de la sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc. etc.

Comenzamos por construir con base en estos números, cuadrados sucesivos sobre el lado mayor de los rectángulos que se van formando.

 

 

Una vez construidas esta sucesión de rectángulos encajados si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro del mismo otro de los vértices del mismo cuadrado obtenemos una curva muy similar a una espiral logarítmica, es la famosa espiral de Durero.

 

 

La sucesión de rectángulos obtenidos tiende en el límite a constituir un rectángulo áureo.

 

¿Qué son los rectángulos áureos?

 

Son aquellos cuyos lados están en razón áurea o sea que el cociente entre su lado mayor y el menor es el número de oro:

 φ = 1,618033988…

Veámoslo numéricamente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

1/1 = 1 ; 2/1 = 2 ; 3/2 = 1,5 ; 5/3 = 1,66… ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625

21/13 = 1,615… ; 34/21 = 1,619…; 55/34 = 1,617…;

89/55 = 1,6181…; 144/89 = 1,6179…; 233/144 = 1,6185…;

377/233 = 1,618025…; 610/377 = 1,618037…;

987/610 = 1,6180327…; 1597/987 = 1,618034…;

2584/1597 = 1,6180338…; 4181/2584 = 1,61803340…;

6765/4181 = 1,61803396…; 10946/6765 = 1,61803399…; etc.etc.

Por ello será:

 

 

Siendo los  a n y a n–1  dos números de Fibonacci consecutivos.

Ahora pasemos a considerar los elementos correspondientes a la sección Áurea y su relación subjetiva con la belleza y la armonía.

 

3.1.2.9- Sección Áurea

En el arte griego la perfección de las formas es el fruto del culto a la proporción numérica. Detrás de la belleza se halla siempre el número. Platón y los pitagóricos elevan este trasfondo cultural a pensamiento filosófico al afirmar que la realidad es, en último término número.

La sección áurea era, para Platón, la más hermosa relación entre tres números, la más reveladora de las proporciones matemáticas. La sección áurea fue descubierta por los pitagóricos y luego fue empleada por artistas, filósofos y científicos de tal modo que terminaron llamándola en el Renacimiento la proporción divina.

Veamos como se puede construir esta proporción entre tres números que representaremos geométricamente como la división del segmento AB por un punto M tal que resulte:   AB/AM = AM/MB  es decir, los tres números son la medida de AM , MB , y  AB

Construyamos un rectángulo tal que su lado mayor sea el doble de su lado menor:

 

 

Tracemos la diagonal AC y con el compás sobre esta diagonal y con centro en C llevemos la medida de CB, determinando el punto D.

Ahora con centro en A y tomando la medida AD llevémosla sobre el segmento AB determinando así el punto M.

 

 

Ha quedado determinada la sección áurea de AB con este punto M.

Es decir, se cumple que:     AB / AM = AM / MB

La verificación de ello la podemos realizar asignando el valor 1 como medida del segmento AM con lo que sabemos que debiera resultar AB = φ

Llamemos x a la medida del segmento AB.

La proporción quedaría: x / 1 = 1 / (1 – x) de donde se sigue que

x(1 – x) = 1 o sea que x – x 2 = 1 y de esta x 2 – x – 1 = 0

Esta es una ecuación de segundo grado completa que podemos resolver mediante la fórmula:

x 1 = (- b ± √b 2 – 4ac) / 2a 

En la anterior resultan ser los números a, b y c los coeficientes de la ecuación a resolver, es decir:

a = 1 ; b = -1 ; c = -1

Entonces reemplazando estos valores en la fórmula resulta:

x = [1 ± √1 2 – 4.1.(-1) ] / 2 . 1 = (1± √5 ) / 2

Como sabemos que x debe ser mayor que cero tenemos un único resultado con significado físico:

x = (1 + √5) / 2 = φ =1,6180339…

Hemos así verificado la corrección de la construcción de la sección áurea.

Habíamos dicho antes que este número áureo fue llamado φ en homenaje al escultor griego Fidias (s.V a.n.e.). También mencionamos que los llamados rectángulos áureos eran aquellos en los cuales el cociente entre su lado mayor y su lado menor es φ. Este tipo de rectángulo lo utilizó Fidias en la fachada del Partenón, pero también se lo puede ver hoy en la búsqueda de generar imágenes vendedoras por su belleza y armonía en los paquetes de cigarrillos y también se los encuentra aproximadamente en el DNI, en las tarjetas de crédito, etc.

En figuras geométricas de resonancias míticas y religiosas se encuentra la sección áurea, por ejemplo en el pentágono estrellado. Las diagonales del pentágono que dan lugar a la estrella se cortan en sección áurea. Además el pentágono es la base para construir el ‘cuerpo sólido perfecto’, el dodecaedro, que al decir de Platón en el Timeo sería la materia de la que está hecha el elemento perfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.

 

 

 

Veamos ahora aplicaciones de la sección áurea en el arte.

Por ejemplo, en algunas de las más célebres estatuas griegas como el Hermes de Praxíteles (390-330 a.n.e.) encontramos relaciones basadas en la sección áurea.

 

 

El homo quadratus y rotundus (Hombre de Vitruvio), es decir inserto en un cuadrado y un círculo, tal y como aparece en el famoso dibujo de Leonardo da Vinci, marca el canon o medida de la perfección humana. En este caso Leonardo resucita la visión de la figura humana que ya existía en la antigua Grecia.

 

 

La sección áurea se aplica al homo quadratus del siguiente modo:

“Considerando la figura humana inscrita en el cuadrado, el ombligo corresponde a la sección áurea del lado y es el centro del círculo circunscrito al homo rotundus. Subdividiendo OM y ON en sección áurea y haciendo luego lo mismo con los segmentos resultantes, se obtienen los puntos correspondientes a las rodillas, ingle, hombros y ojos”.

 

 

También podemos ver muestras de la sección áurea en la arquitectura. La fachada del Partenón está construida sobre rectángulos áureos. En la figura se puede comprobar que  AB / CD = φ. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo:

AC / AD = φ ;  CD / CA = φ

 

 

 

Platón entendía que los primeros principios que sirven de fundamento a las Ideas o Formas eran principios matemáticos. Incluso una Idea ética como la Idea del Bien puede reducirse a la “justa medida”. Platón cree que el Estado perfecto entrará en decadencia cuando los gobernantes olviden el Número que ha de regular los emparejamientos y los nacimientos dentro del Estado. La armonía y la unicidad del Estado, por tanto la Idea del Bien, dependen en última instancia del respeto a la armonía matemática del Universo. También Aristóteles hablará de la virtud del “justo medio” entre dos extremos.

 

Todo lo anteriormente mencionado nos permite apreciar lo que señalábamos en otro lugar.

“Existe una profunda relación entre la Secuencia de Fibonacci y la Sección Áurea y ella permite señalar la profunda relación que existe entre el accionar optimizador evolutivo en la Naturaleza y la belleza y la armonía respectivamente”

Si acoplamos a lo anterior el hecho de que la secuencia de hexagramas denominada del rey Wen o secuencia recibida está estructurada de acuerdo con la secuencia de Fibonacci, ello nos habilita para considerarla como respondiendo a un óptimo natural y siendo el mejor reflejo de la apreciación humana subjetiva de belleza y armonía.

Esto indicaría también la futilidad de la búsqueda de secuencias alternativas para los 64 hexagramas, en el sentido de que la secuencia del rey Wen es la mejor habilitada para permitirnos acceder al reino arquetipal del Anciano Sabio interior en la consulta oracular, de este Anciano Sabio dotador de significados, que son los “tesoros de las profundidades”, que extraeremos al nivel consciente como del Pozo de Agua en sus mejores condiciones.

(Continuará)

 

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Raśl Jurovietzky
Ingeniero
E-Mail: rauljuro@saiching.org

 




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