Imprimir el artículo



Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching (sexta Parte)




Autor: Ing. Raśl Jurovietzky


          Comenzaremos ahora con el análisis y comentarios sobre otra aplicación del Álgebra Booleana, esta vez a los conceptos tradicionales de Corrección y Correspondencia.
          El Dr. Andreas Schöter presenta el tema en su trabajo denominado precisamente “Correctness and Correspondence” publicado por primera vez en febrero de 1999(1).
          Agregaré al final del estudio (secciones 5 y 6) un análisis posible respecto al tema de “Vecindad o Solidaridad” que no es abordado en el paper del Dr. Schöter.

          1. Introducción

          Éste nos dice en su introducción que de los tres temas vinculados con las líneas individuales y sus relaciones que son:                  

  1. Corrección
  2. Vecindad o Solidaridad
  3. Correspondencia
analizará los de Corrección y Correspondencia, pero no en este trabajo el de Vecindad o Solidaridad.
          Además expresa que hará una referencia extensiva a los trabajos de Chen Yi quien “aplica las teorías de “Inner Design” para desarrollar un comentario detallado del Yi que refleja la aplicación de estos conceptos”.
          Thomas Cleary tradujo el trabajo de Chen Yi y lo presentó como “The Tao of Organization” en el año 1988(2).
          A continuación indica que en la segunda sección del trabajo describirá las nociones tradicionales de corrección y correspondencia como fueron presentadas por Cleary y Chen Yi, “incluyendo una descripción de los roles de las líneas individuales y como ayudan a proveer un contexto para comprender la significación de corrección y correspondencia cuando son usados en la interpretación de las estructuras del I Ching”.
          En la sección 3 presentará un método para la representación de la corrección y la correspondencia con utilización de las herramientas algebraicas discutidas en su trabajo previo “Álgebra Booleana y el I Ching”(3).
          Nos dice que utilizará esas técnicas para desarrollar definiciones formales para dichas propiedades y luego utilizará esas definiciones para poner de manifiesto algunas características interesantes. En particular, que mostrará en la Sección 3.5 que la corrección y la correspondencia son propiedades interconectadas, además también mostrará como la correspondencia puede ser utilizada para proveer un método de clasificación de los hexagramas en ocho clases.
          Dado que utiliza mucho la traducción de Cleary, Schöter decidió adoptar los nombres de los hexagramas usados por éste en lugar de las traducciones más familiares ofrecidas por Wilhelm.
          En nuestro comentario seguiremos utilizando en general la nomenclatura de la traducción de R. Wilhelm.
          También indica que incluirá el número de secuencia del sistema numerativo del rey Wen y una representación binaria del gua donde esto fuere apropiado.

          2. La Perspectiva Tradicional

          Aquí comienza por indicarnos que es informativo dar una breve descripción de las características individuales de las líneas. Lo hace en el contexto del sistema utilizado por Cheng Yi, que es el de una organización.
          A continuación lo pondremos junto con el más tradicional visto desde la función social dado por Wilhelm.

          1.1 – Las líneas individuales

  Organización Función Social
Línea 6 Consultores Externos Sabio o Loco
Línea 5 Administradores Senior Soberano
Línea 4 Asistentes Personales Ministros
Línea 3 Administradores Medios Servidores Informativos
Línea 2 Trabajadores Expertos Funcionarios de Provincia
Línea 1 Trabajadores Inexpertos Pueblo, Soldados

          El sistema de distribución de roles organizacional es descrito con más detalle en el texto de Cleary ya mencionado del año 1988(2). Éste mismo describe en otro texto del año 1989(4) un número de diferentes sistemas desde las perspectivas Taoísta, Budista y Confuciana.

          1.2 – Corrección

          Este concepto “relaciona la naturaleza de una línea (sea esta yin o yang) al lugar que ocupa en la estructura del hexagrama.”
          La idea parte de que siendo los puestos impares 1, 3 y 5 del hexagrama de naturaleza yang, es más correcto – en general – el que fueran ocupados por líneas yang. Lo mismo ocurre con los puestos 2, 4 y 6 del hexagrama que, al ser de naturaleza yin hacen que sea más correcto – en general – el que fueran ocupados por líneas yin. Hay excepciones en los casos en que una exageración de lo yang o lo yin, en un contexto dado, resulta negativa.
          En el texto de R. Wilhelm– “I Ching. El Libro de las Mutaciones”(5) – se establece que al Cielo le es asignado el número 3 y a la Tierra el número 2, y de allí se siguen los otros números. Estos son indicados en el mismo texto en el capítulo ix, § 1 del Ta Chuan/El Gran Tratado: “El Cielo es uno, la Tierra dos, el Cielo tres, la Tierra cuatro, el Cielo cinco, la Tierra seis, el Cielo siete, la Tierra ocho, el Cielo nueve, la Tierra diez”.
          Siguiendo esto tenemos que los lugares están divididos en la oscuridad y la luz: “Los puestos se dividen entre oscuros y luminosos; sobre ellos se sitúan, turnándose, trazos blandos y firmes”. Richard Wilhelm completa la idea en su texto, en el Libro II- “La Estructura de los Signos. El Carácter de los Trazos”.
          A continuación el Dr. Schöter proporciona algunos ejemplos relativos al concepto de corrección:
          El hexagrama 63- “Después de la Consumación” cuya estructura en binario es 101010 muestra que todas las líneas están correctas en sus puestos y por ello remarca como adecuada la traducción del nombre del hexagrama realizada por Cleary como “Colocado”.
          De la misma forma el hexagrama 64- “Antes de la Consumación”, 010101, muestra todas las líneas incorrectas en sus puestos y así ve como adecuada también la traducción del nombre por Cleary como “No Colocado”.
          Para el yin del tercer lugar del hexagrama 10- “La Pisada” (El Porte), 110111, encontramos que está ubicado en un puesto yang, el comentario negativo resulta ser: Cuando alguien débil se considera fuerte avanza hacia el peligro y la desgracia.
          De la misma forma, para el yang del cuarto puesto del hexagrama 35- “Avance” (El Progreso), 000101, el estar en un puesto yin es inauspicioso, por ello se dice (Chen Yi): “Yang en la cuarta línea, está fuera de lugar. El permanecer donde uno está fuera de lugar, representa a quienes ocupan una posición sólo por voracidad”.
          Como ejemplo de corrección Schöter indica el yin del cuarto puesto en el hexagrama 37- “Personas en su hogar” (El Clan, La Familia), 101011.
          Éste es yin en un lugar yin, al respecto Chen Yi dice: “Estar en el lugar adecuado significa vivir seguramente, en paz”.
          No es regla general el que la corrección sea lo conveniente o el que la incorrección sea una desventaja.
          Por ejemplo, si se observa la línea segunda del hexagrama 34- “El Poder de lo Grande”, 111100, tenemos un yang en un lugar yin. El comentario de Chen Yi al respecto es: “La segunda línea tiene fuerza yang en un tiempo de gran poder, sin embargo permanece flexible”. O sea que la naturaleza de la línea se beneficia con el espíritu del lugar.
          De la misma forma respecto al yin del primer lugar del hexagrama 40- “Solución” (La Liberación), 010100, Chen Yi dice: “Tiene flexibilidad en una posición de poder, esto significa que siendo flexible es aún capaz de ser firme”.
          La corrección tampoco es siempre una ventaja. El comentario de Chen Yi sobre el hexagrama 34-“El Poder de lo Grande”, 111100, con relación al yang del tercer lugar es: “El tercer yang tiene fuerza en una posición yang, tratándose de poder...  Es como si las personas estiman y usan el poder en demasía en toda confrontación, inevitablemente serán frustradas”.
          De la misma forma en el yin del cuarto lugar del hexagrama 36- “El Oscurecimiento de la Luz”, 101000, tenemos una línea yin en un lugar yin, es demasiado yin. Según Chen Yi: “Esto representa a personas insignificantes deshonestas ocupando altas posiciones que siguen obedientemente al líder, siendo tortuosas y débiles”.
          En resumen nos dice Schöter: “aunque la corrección provee un marco general básico para la interpretación de la naturaleza de las líneas, la determinación real de cuando el resultado es o no auspicioso dependerá mucho del contexto general del hexagrama. El análisis algebraico que se hará luego se direcciona con las propiedades formales de la corrección y no hacia su interpretación contextual”.

          1.3 – Correspondencia

          La noción de correspondencia relaciona pares de líneas complementarias en posiciones relacionadas.
          Las posiciones que están en relación son la primera y la cuarta, la segunda y la quinta, la tercera y la sexta.
          Entonces tenemos correspondencia cuando la primer y cuarta línea son complementarias y también cuando la segunda y la quinta o la tercera y la sexta lo son.



Figura N° 1- Correspondencia posible entre posiciones

          Ejemplo de hexagrama con sus tres pares de líneas correspondientes:



Figura N° 2- Hexagrama 63- “Después de la Consumación”

          Se observa que lo importante para que haya relación de correspondencia es que las líneas sean complementarias sin importar el orden dentro de esta complementariedad. Esto si importa para el concepto de vecindad, para el cual dos líneas adyacentes complementarias están en relación de vecindad (o solidaridad) si la que está en posición más baja de las dos es línea yang.
          A continuación el Dr. Schöter indica que Richard Smith traduce el término chino para esta relación de correspondencia como “resonar correctamente”(6), y que esta frase captura el sentido que está por detrás de la idea de correspondencia. Richard Wilhelm describe esta relación en detalle en su texto sobre el I Ching(7).
          “Cheng Yi dice en el comentario al tercer yin del hexagrama 41- “La Merma”, 110001, “cuando cada par de líneas es complementaria, luego el propósito está unificado, cada una ha obtenido un compañero” [Clea 88, p.134]. Con este comentario y otros similares realizados por Chen Yi se puede ver la relación de correspondencia como de atracción mutua y ayuda entre pares de líneas”.
          Al considerar al hexagrama 64- “No Colocado” (Antes de la Consumación), 010101, a la luz de los conceptos de corrección y correspondencia y citando a R. Wilhelm:

          “Si se los contempla exteriormente, todos los trazos se encuentran por cierto fuera de sus puestos, pero todos mantienen una mutua relación.
          A pesar de la apariencia externa de un completo desorden, interiormente el orden ya se encuentra prefigurado”.

                              La mutua relación indicada por Wilhelm es precisamente la de correspondencia entre las líneas del trigrama inferior con las del trigrama superior.
          A continuación el Dr. Schöter propone algunos ejemplos tomados de los comentarios de Chen Yi con el propósito de clarificar la aplicación de las relaciones de correspondencia.
          En primer lugar considera el primer yin en el hexagrama 6 – “El Conflicto”, 010111, este está ubicado en un lugar incorrecto, pero como está en correspondencia con el yang del cuarto puesto obtiene de ello algo positivo. Chen Yi dice: “Es porque hay una asistencia de correspondencia desde un nivel más alto, que las personas en esta posición son capaces de refrenarse de seguir persistiendo en un asunto, y son felices de poder hacerlo con un pequeño criticismo”. El comentario para el cuarto yang en correspondencia dice que “la primera línea está en la relación correcta cooperativa y es obediente, así que no es tan difícil contenerla”.
          En contraste, comparando el segundo y el quinto yang en los que sus posiciones pueden corresponder pero ellos no son complementarios, Chen Yi dice que: “...ellos son ambos fuertes, entonces se confrontan”.
          Otro ejemplo es del hexagrama 17 – “El Seguimiento”, 100110, si se considera el yin del segundo puesto resulta que existe una situación muy compleja. Se corresponde con el yang del quinto lugar, pero se ve impulsado hacia el más cercano primer yang. Chen Yi dice: “si usted se involucra con el niño perderá al adulto. El primer yang de abajo es el niño pequeño; el quinto, la verdadera correspondencia, es el adulto. Si el segundo se dirige hacia el primero, perderá su verdadera correspondencia, el quinto yang”.
          Luego se considera el primer yang en el hexagrama 13 – “Comunidad con los Hombres”, 101111, a modo de contraste con lo anterior.
          Esta línea no tiene correspondiente (el cuarto rasgo es también yang), pero el comentario de Chen Yi dice que “esto significa ausencia de desvío personal”
          Se concluye que como en el caso de corrección aunque la definición abstracta de correspondencia provee el marco, la interpretación real basada sobre la relación depende del contexto de la situación.
          Esto es llevado al límite en el ejemplo citado del hexagrama 38 – “El Antagonismo” (La Oposición), 110101, entre el primero y el cuarto yang.
          Para Cheng Yi estas líneas ¡se corresponden! Él dice de la situación: “...solamente el primero y el cuarto, aunque ellos no sean complementarios, tienen las mismas cualidades y se asocian, así que ellos armonizan”.
          Remarca luego Schöter que el análisis algebraico que dará más adelante concierne con los aspectos formales de la relación y no se hará hincapié en su interpretación contextualmente determinada.

          3. La Perspectiva Algebraica

          Como ya dijéramos al comienzo de este artículo (sexta parte) esta perspectiva está basada sobre la interpretación formal desarrollada en un trabajo previo del Dr. Schöter del año 1998: “Boolean Álgebra and the Yi Jing”.
          Comenzando con el aspecto técnico de la propuesta nos dice que la corrección puede ser vista como una relación entre una línea individual y su lugar en el gua, mientras que la correspondencia es una relación entre dos líneas de acuerdo a sus posiciones relativas.
          De la misma forma que las mutaciones de un hexagrama conducían a otro hexagrama, aquí también la representación formal de corrección y correspondencia se hará en términos de otro hexagrama en el caso de corrección y en términos de un trigrama para el caso de correspondencia.

          3.1 – Alguna Notación Auxiliar

          La notación formal acerca del gua como un conjunto ordenado de líneas sería, por ejemplo, para el hexagrama 48 – “El Pozo de Agua”:
          [0, 1, 1, 0, 1, 0], siempre que no de lugar a confusión se escribirá más informalmente como: 011010. Cuando se necesite romper la estructura de un gua en unidades más pequeñas se utilizará la notación completa.

          3.2 – Corrección

          Aquí el Dr. Schöter propone la siguiente representación formal para la relación de corrección:

          “La corrección de las líneas en un hexagrama G puede representarse por otro hexagrama, su hexagrama de corrección C. En este hexagrama una línea es yang si la línea equivalente en el hexagrama original G es correcta; similarmente, una línea es yin en el hexagrama C si la línea equivalente en el hexagrama original no es correcta”.
          Considerando que todas las líneas son correctas si el hexagrama G es 101010 y todas son incorrectas si éste hexagrama se ve como 010101. Esto conduce a la siguiente definición:

          Definición 1: Corrección
          “El hexagrama de corrección C de un hexagrama G es:
                   C = G ^ 010101
          Lo que nos dice lo anterior es que el hexagrama de corrección de un hexagrama dado es la diferencia” (simétrica) “entre éste hexagrama y el de incorrección total”

          Si se aplica esta definición a los ejemplos dados anteriormente se obtienen los siguientes resultados:
          Consideremos primero el hexagrama 63 – “Después de la Consumación” (Colocado)     G = 101010

                   C = 101010 ^ 010101 = 111111

          Vemos que todas las líneas ocupan un lugar correcto.
          Tomemos ahora el hexagrama 64 – “Antes de la Consumación” (No Colocado)      G = 010101

                   C = 010101 ^ 010101 = 000000

          Todas las líneas están fuera de su lugar correcto.
          Ahora veamos el ejemplo del hexagrama 56 – “El Andariego”:
          G = 001101
                            C = 001101 ^ 010101 = 011000

          Concluimos que solamente la segunda y tercera línea del hexagrama 56 están correctamente ubicadas, yin en lugar yin la segunda y yang en lugar yang la tercera.

          Tenemos entonces una relación formal que nos da una representación de la corrección en los siguientes términos:

          “La corrección de un hexagrama está definida como otro hexagrama: para cada línea correcta del hexagrama inicial tenemos una línea yang en el resultado, y para cada línea incorrecta tenemos una línea yin”.

          A continuación el Dr. Schöter presenta algunas propiedades de corrección que pueden ser verificadas usando las herramientas formales del Álgebra Booleana:

          Teorema 1: Unicidad de la Corrección

                              “Cada hexagrama tiene un único hexagrama de corrección”

          Veamos una prueba de este teorema:

                              Sea el hexagrama original   G = [a, b, c, d, e, f]  y supongamos que este puede tener más de un hexagrama de corrección. Esta suposición nos debe llevar a un absurdo que nos probará que el hexagrama de corrección es único.
          Tomemos como dos hexagramas de corrección del hexagrama original a:
                   C1 = [a1, b1, c1, d1, e1, f1]
          y
                   C2 = [a2, b2, c2, d2, e2, f2]

          con al menos una línea de diferencia entre ellos.
          Sea por simplicidad y manteniendo la suficiencia de la demostración que la línea supuesta diferente es la primera por lo que resulta:   a1 ≠ a2

         C1 = [a1, x1, x2, x3, x4, x5]

         C2 = [a2, x1, x2, x3, x4, x5]

          Según la definición:

         C = G ^ 010101 = [a, b, c, d, e, f] ^ [0, 1, 0, 1, 0, 1]

         C = [a ^ 0, b ^ 1, c ^ 0, d ^ 1, e ^ 0, f ^ 1]

          Si a1 toma el valor 1 debe ser a2 = 0 ó a la inversa, por ser, supuestamente,  a1 ≠ a2  pero como  a1 = a ^ 0 y a2 = a ^ 0 debe resultar necesariamente que a1 = a2 ya que dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si. Queda así establecida la unicidad de la corrección, pues la suposición de diferencia entre C1 y C2 ha quedado invalidada.

          El siguiente teorema presentado por A. Schöter relaciona la corrección de un hexagrama con la corrección de su complemento.

          Teorema 2: Corrección Complementaria

          Si el hexagrama de corrección de G es dado por C entonces el hexagrama de corrección de ~G será ~C, y dado que dos hexagramas son complementarios si cada línea correspondiente en ellos son complementarias, estaríamos diciendo en lenguaje corriente que si una línea es correcta en G será incorrecta en ~G.
          Una de las reglas generales del Álgebra Booleana nos dice que:

                   (~G) ^ X = ~(G ^ X)

                              Recordando que esto se aplica línea por línea es fácil ver la corrección de lo anterior con la siguiente tabla:

a1 x1 ~a1 (~a1)^x1 a1^x1 ~(a1^x1)
0 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 0 1

Tabla Nº 1


          Siendo   G = [a1, b1, c1, d1, e1, f1]   y   X = [x1, x2, x3, x4, x5, x6]

          De las columnas cuarta y sexta de la tabla anterior comprobamos que:                 
                   (~a1) ^ x1 = ~(a1 ^ x1)

          lo mismo es válido para las otras líneas y en definitiva se verifica que:                  
                   (~G) ^ X = ~(G ^ X)

          En la definición de corrección X está fijada en 010101 y G es el gua del cual estamos interesados en hallar la corrección de sus líneas a través del hexagrama de corrección.
          Del teorema 2 se sigue que si    CG = G ^ 010101 entonces para  ~G tenemos:
         C~G = (~G) ^ 010101 = ~(G ^ 010101) = ~CG

          y por supuesto, esta igualdad implica la igualdad línea por línea, esto es:
          Si  CG = [a1, b1, c1, d1, e1, f1]  será  ~CG = [~a1, ~b1, ~c1, ~d1, ~e1, ~d1]

          y como ~CG = C~G  tendremos entonces que:

                   C~G = [~a1, ~b1, ~c1, ~d1, ~e1, ~f1]

          O sea, por ejemplo, si a1 = 1 (es correcta) en CG en C~G será esta línea
(la primera) de valor ~a1 = 0 o sea incorrecta, quedando probado el teorema.
          Agrega el Dr. Schöter un tercer teorema que involucra la corrección en un hexagrama compuesto por un trigrama único duplicado.

          Teorema 3: Corrección para Trigramas Duplicados

          “Si G = [a, b, c, a, b, c] entonces su hexagrama de corrección tiene la forma:   C = [d, e, f, ~d, ~e, ~f]”

          O sea que si un hexagrama tiene el mismo trigrama repetido, entonces su hexagrama de corrección tendrá trigramas complementarios. Esto implica que en un hexagrama compuesto por trigramas repetidos a lo sumo la mitad de las líneas pueden ser correctas.
          Para probarlo, recordando que    C = G ^ [0, 1, 0, 1, 0, 1]
          será:
         C = [a, b, c, a, b, c] ^ [0, 1, 0, 1, 0, 1]

         C = [a ^ 0, b ^ 1, c ^ 0, a ^ 1, b ^ 0, c ^ 1]

          Recordando la regla utilizada para el teorema anterior, que ~0 = 1 y ~1 = 0 y además que el operador diferencia simétrica (^) es conmutativo, o sea que:
                                     a ^ 0 = 0 ^ a, a ^ 1 = 1 ^ a, b ^ 0 = 0 ^ b, etc. etc.
          Tenemos lo siguiente:
                                     a ^ 0 = 0 ^ a = ~1 ^ a = ~(1 ^ a) = ~(a ^ 1)    
                                     b ^ 1 = 1 ^ b = ~0 ^ b = ~(0 ^ b) = ~(b ^ 0)
                                     c ^ 0 = 0 ^ c = ~1 ^ c = ~ (1 ^ c) = ~(c ^ 1)
                                          
          O, lo que es lo mismo:   a ^ 1 = ~(a ^ 0)
                                     b ^ 0 = ~(b ^ 1)
                                     c ^ 1 = ~(c ^ 0)

          y si llamamos: a ^ 0 = d ; b ^ 1 = e ; c ^ 0 = f
          llegamos a:
                   C = [d , e, f, ~d, ~e, ~f]

          Quedando probado el teorema.

          Lo que sucede cuando un hexagrama tiene trigramas complementarios está dado por el teorema siguiente.

          Teorema 4 – Corrección para trigramas complementarios

          “Si   G = [a, b, c, ~a, ~b, ~c]  entonces su hexagrama de corrección C tendrá la forma:    C = [d, e, f, d, e, f]”
          O sea que si un hexagrama tiene trigramas complementarios su hexagrama de corrección tiene trigramas repetidos.
          Este teorema es converso respecto al teorema 3: para un hexagrama compuesto de trigramas complementarios, si una línea en el trigrama inferior es correcta, entonces su línea correspondiente en el trigrama superior también será correcta.
          De la misma forma que para el teorema 3 la prueba para este teorema se puede ver en lo siguiente:
                                     G = [a, b, c, ~a, ~b, ~c]

          C = G ^ [0, 1, 0, 1, 0, 1] = [a, b, c, ~a, ~b, ~c] ^ [0, 1, 0, 1, 0, 1]
          C = [a ^ 0, b ^ 1, c ^ 0, ~a ^ 1, ~b ^ 0, ~c ^ 1]

          a ^ 0 = 0 ^ a = ~1 ^ a = ~(1 ^ a) =  ~(a ^ 1) = ~a ^ 1 = d
          b ^ 1 = 1 ^ b = ~0 ^ b = ~(0 ^ b) = ~(b ^ 0) = ~b ^ 0 =e
          c ^ 0 = 0 ^ c = ~1 ^ c = ~(1 ^ c) = ~(c ^ 1) = ~c ^ 1 = f

          Y entonces:  C = [d, e, f, d, e, f]
          quedando probado el teorema.

          Terminado el estudio del tema corrección se pasa ahora al tema de correspondencia.


          3.3 – Correspondencia

          Como ya vimos esta noción se puede ver como una comparación de las líneas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 de los dos trigramas de un hexagrama: trigrama inferior 1, 2 y 3, trigrama superior 4, 5 y 6.
          Hay correspondencia si las componentes de los pares anteriores son complementarias.
          El Dr. Schöter proporciona aquí la siguiente definición:

          Definición 2: Correspondencia

          “Para el hexagrama   G = [a, b, c, d, e, f]   el trigrama de correspondencia es:     R = [a ^ d, b ^ e, c ^ f]”

          Esta definición representaría la correspondencia de un hexagrama a través de un trigrama.
          Como las líneas de los pares deben ser complementarias para que exista correspondencia, resulta que si  a = 1 debe ser d = 0 ó si a = 0 debe ser d = 1.
          En ambos casos resulta a ^ d = 1
          Entonces, según la definición dada, si la primer línea del trigrama R es yang (1) la primera y cuarta línea del hexagrama G son correspondientes. En cambio si a ^ d = 0 no lo son, ya que ello implica que si a = 0 entonces d = 0, o bien si a = 1 entonces d = 1.
          Lo mismo ocurre para todas las líneas del trigrama.

          Los ejemplos presentados son:

          Hexagrama 63 – “Después de la Consumación”,  G = [1, 0, 1, 0, 1, 0]

          Aplicando la definición 2 resulta:

                   R = [a ^ d, b ^ e, c ^ f] = [1 ^ 0, 0 ^ 1, 1 ^ 0] = [1, 1, 1]

          que indica que hay correspondencia entre todos los pares de líneas.

          Otro ejemplo es el del hexagrama 64 – “Antes de la Consumación”.
 
          G = [0, 1, 0, 1, 0, 1]  resulta    R = [0 ^ 1, 1 ^ 0, 0 ^ 1] = [1, 1, 1]

          que muestra que también todos los pares se encuentran en correspondencia.

          Finalmente se agrega como otro ejemplo el hexagrama 56 – “El Andariego”
                   G = [0, 0, 1, 1, 0, 1]

          resultando:   R = [0 ^ 1, 0 ^ 0, 1 ^ 1] = [1, 0, 0]

          que indica que sólo un par, el formado por las líneas primera y cuarta del hexagrama 56 se encuentran en correspondencia.

          A continuación el Dr. Schöter expone tres teoremas que considera interesantes.

          Teorema 5: Clases de Correspondencia

          “Todo hexagrama cae en una de ocho clases de correspondencia”.

          Esto surge directamente de la observación del hecho de que si la correspondencia de un hexagrama se puede representar como un trigrama y como existen ocho trigramas aparece una clase de correspondencia por cada uno de estos ocho. Además, dado que hay 64 hexagramas, en cada clase de correspondencia habrá 8 hexagramas.
          Más adelante – indica Schöter – explorará las implicancias de estas ideas (sección 3.4).

          El teorema 6 agregado a continuación paraleliza al teorema 3 de corrección

          Teorema 6: Correspondencia para Trigramas Duplicados

          “Para un hexagrama    G = [a, b, c, a, b, c]  resulta  R = [0, 0, 0]”

          O sea: “Todo hexagrama duplicado no tiene líneas correspondientes”
          Esto surge directamente al considerar que:

                   R = [a ^ a, b ^ b, c ^ c] = [0, 0, 0]

          El teorema 7 siguiente paraleliza al teorema 4 para corrección. Es el converso del teorema 6.

          Teorema 7: Correspondencia para Trigramas Complementarios

          “Para un hexagrama  G = [a, b, c, ~a, ~b, ~c] resulta   R = [1, 1, 1]

          O sea que en este caso todos los pares de líneas del hexagrama están en correspondencia.
          También esto surge directamente al considerar la operatoria dada por la definición 2:
                   R = [a ^ ~a, b ^ ~b, c ^ ~c] = [1, 1, 1]

          Luego de exponer estos teoremas el Dr. Schöter amplía la consideración derivada del teorema 5 sobre las clases de correspondencia.


          3.4 – Clases de Correspondencia

          Proporciona aquí una tabla con las clases de correspondencia, o sea da la ubicación de los 64 hexagramas en cada clase de correspondencia:

                  000                                   sin pares correspondientes
          001; 010; 100                           con un par correspondiente
          011; 101; 110                           con dos pares correspondientes
                  111                                   con los tres pares correspondientes

          La daremos aquí con el ordenamiento indicado y con el agregado de la numeración correspondiente al rey Wen para facilitar su aplicación.

                              Además, para no tener que darla reducida en tamaño, la separaremos en dos partes. En la primera irán las clases 000; 001; 010 y 100, en la segunda se presentarán las clases 011; 101; 110 y 111.

000 001 010 100
binario R.W. binario R.W. binario R.W. binario R.W.
000000 2 000001 23 000010 8 000100 16
001001 52 001000 15 001011 53 001101 56
010010 29 010011 59 010000 7 010110 47
011011 57 011010 48 011001 18 011111 44
100100 51 100101 21 100110 17 100000 24
101101 30 101100 55 101111 13 101001 22
110110 58 110111 10 110100 54 110010 60
111111 1 111110 43 111101 14 111011 9

011 101 110 111
binario R.W. binario R.W. binario R.W. binario R.W.
000011 20 000101 35 000110 45 000111 12
001010 39 001100 62 001111 33 001110 31
010001 4 010111 6 010100 40 010101 64
011000 46 011110 28 011101 50 011100 32
100111 25 100001 27 100010 3 100011 42
101110 49 101000 36 101011 37 101010 63
110101 38 110011 61 110000 19 110001 41
111100 34 111010 5 111001 26 111000 11

Tabla N° 2 – Clases de Correspondencia



          Luego de proporcionar una tabla similar a la anterior el Dr. Schöter indica que “la posible importancia de este método de clasificación de los gua queda por ser explorada”.

          En la sección 3.5 de su trabajo pasa a explorar la relación entre los conceptos de corrección y correspondencia.


          3.5 – Relación entre Corrección y Correspondencia

          Aquí nos dice que estos conceptos no son independientes.
          Tomando las definiciones dadas en las secciones 3.2 y 3.3 se propone mostrar como se pueden utilizar para realizar las interconexiones entre las dos nociones de forma explícita. En su aspecto formal estas interconexiones se verán a través de las afirmaciones del Teorema 8.
          Proveerá una prueba formal del Teorema 8a. y del Teorema 8c. dejando las partes restantes como ejercicio a realizar.
          Nosotros completaremos la prueba para los casos 8b. y 8d.

          Teorema 8: Corrección y Correspondencia

  1. Si una línea es correcta y tiene un correspondiente, entonces esta línea es correcta también.
  2. Si una línea es incorrecta y tiene un correspondiente, luego esta línea es incorrecta también.
  3. Si una línea es correcta y no tiene una línea correspondiente, entonces esta última es incorrecta.
  4. Si una línea es incorrecta y no tiene una línea correspondiente, luego esta última es correcta.

          Prueba del Teorema 8a.

          Supongamos que el hexagrama bajo consideración es:

                   G = [a, b, c, d, e, f]

          Por la definición 1 sabemos que el hexagrama de corrección es:

                   C = [a ^ 0, b ^ 1, c ^ 0, d ^ 1, e ^ 0, f ^ 1]

          y por la definición 2 sabemos que el trigrama de correspondencia es:

                   R = [a ^ d, b ^ e, c ^ f]

          Tomemos para la demostración, por ejemplo, la línea uno (para las demás la demostración sería idéntica)
          Entonces la línea uno es correcta,  y tiene correspondiente.
          Si la línea uno es correcta entonces:
                                     a ^ 0 = 1  y se  sigue que debe ser   a = 1.
          Además como las líneas uno y cuatro se corresponden debe ser:
          a ^ d = 1,  o sea  1 ^ d = 1 y por ello   d = 0.
          Entonces de la corrección de la primera línea (yang en lugar yang) se sigue la corrección de la cuarta línea (yin en lugar yin).
          De igual forma, si consideramos la segunda línea y ésta es correcta se sigue que  b ^ 1 = 1 y por ende  b = 0 (yin en lugar yin).
          La línea correspondiente es la del quinto lugar y entonces es:
          b ^ e = 1 para que haya correspondencia y como  b = 0  resulta:
          0 ^ e = 1 lo que indica que  e = 1. Así vemos que por ser yang en lugar yang esta línea es correcta.

          Probado el teorema 8a. pasamos a demostrar el teorema 8b.

          Prueba del teorema 8b.

          Recordemos que este teorema dice que si una línea es incorrecta y tiene un correspondiente, luego esta línea correspondiente es incorrecta también.
                             G = [a, b, c, d, e, f]

                             C = [a ^ 0, b ^ 1, c ^ 0, d ^ 1, e ^ 0, f ^ 1]

          y                 R = [a ^ d, b ^ e, c ^ f]

          como en el caso anterior.
          Sea incorrecta la primer línea, entonces:     a ^ 0 = 0,  habiendo correspondencia entre la primer y la cuarta línea se tiene:  a ^ d = 1
          De  a ^ 0 = 0  se sigue que:   a = 0.
          De  a ^ d = 1  resulta 0 ^ d = 1 y entonces se sigue que:  d = 1, o sea
          d ^ 1 = 1 ^ 1 = 0 siendo incorrecta esta línea también (yang en lugar yin).
          De la misma forma se realiza la prueba para las otras líneas.
          Por ejemplo, sea incorrecta la segunda línea:   b ^ 1 = 0 entonces
          b = 1  (yang en lugar yin).
          Como hay correspondencia entre  b  y  e, resulta  b ^ e = 1, entonces
          b ^ e = 1 ^ e = 1 lo que implica que  e = 0 (yin en lugar yang) y por ello esta quinta línea resulta incorrecta.

          Pasemos ahora a la prueba del teorema 8c.

          Prueba del Teorema 8c.

          “Si una línea es correcta y no tiene una línea correspondiente, luego esta última (línea no correspondiente en el puesto de posible correspondencia) es incorrecta”

          De igual forma que en los casos anteriores partimos de;

                   G = [a, b, c, d, e, f]

                   C = [a ^ 0, b ^ 1, c ^ 0, d ^ 1, e ^ 0, f ^ 1]

                   R = [a ^ d, b ^ e, c ^ f]

          Supongamos que a es correcta y no tiene correspondiente.
          De C tenemos que:  a ^ 0 = 1, entonces debe ser  a = 1
          De R tenemos que:   a ^ d = 0, entonces  1 ^ d = 0  y para ello debe ser:
                   d = 1.
          Nuevamente de C tenemos la posibilidad de corrección expresada como
                   d ^ 1 = 1 ^ 1 = 0, o sea que la cuarta línea es incorrecta.
          De la misma forma, si tomamos la segunda línea: b es correcta y no tiene correspondiente.
          A partir de C tenemos que  b ^ 1 = 1, entonces debe ser b = 0
          De R tenemos que   b ^ e = 0 (pues b no tiene correspondiente).
          b ^ e = 0 ^ e = 0 entonces debe ser e = 0  y nuevamente de C tenemos que  e ^ 0 = 0 ^ 0 = 0 por lo que e es una línea incorrecta (yin en lugar yang).
          Para las otras líneas el procedimiento es idéntico.
          Queda así probado el teorema 8c.

          Pasemos ahora a la prueba del teorema 8d.

          Prueba del Teorema 8d.

          “Si una línea es incorrecta y no tiene una línea correspondiente luego esta última es correcta”.
          Partimos nuevamente de:

                   G = [a, b, c, d, e, f]

                   C = [a ^ 0, b ^ 1, c ^ 0, d ^ 1, e ^ 0, f ^ 1]

                   R = [a ^ d, b ^ e, c ^ f]

          Si a es incorrecta  a ^ 0 = 0  por lo que  a = 0
          Como no tiene correspondiente  a ^ d = 0
          Así resulta:  a ^ d = 0 ^ d = 0  por lo que debe ser  d = 0
          Si  d = 0 de C resulta que:  d ^ 1 = 0 ^ 1 = 1, o sea que esta cuarta línea es correcta (yin en lugar yin).
          Si tomamos otra línea, por ejemplo la sexta (f), siendo incorrecta conduce a partir de C a:  f ^ 1 = 0 por lo que  f = 1 (yang en lugar yin).
          Como sabemos que f no tiene correspondiente, desde R resulta:
          c ^ f = f ^ c = 1 ^ c = 0  de donde debe ser  c = 1
          Nuevamente de C tenemos que:  c ^ 0 = 1 ^ 0 = 1 o sea que c es una línea correcta (yang en lugar yang).
          Para las demás líneas la prueba es similar.

          Luego de estas pruebas el Dr. Schöter finaliza su artículo indicando sus conclusiones que transcribimos en lo que sigue:

          “4. Conclusiones

          En “Boolean Algebra and the Yi Jing” [Sch 98] introduje un análisis matemático de los aspectos estructurales del gua. En aquel trabajo aplico las técnicas formales para proveer una descripción de otros fenómenos. En particular describo como las relaciones de Cleary del Complemento Estructural y el Correlato Primal [Cle 89, pp. 29 – 31] pueden tener una descripción formal precisa. También muestro como las relaciones que se sostienen entre el gua inicial en una lectura y el gua resultante a partir de sus líneas móviles pueden tener un análisis matemático dentro del mismo marco.
          En este trabajo y tomando las mismas herramientas formales [Sch 98], las aplico para proveer un análisis detallado de las nociones tradicionales de correspondencia y corrección. En particular he mostrado como ambas nociones no son independientes. En cambio ellas se acoplan en forma precisa y bien definida por los teoremas vistos en la Sección 3.5. Además, como efecto colateral del Teorema 5, encontramos una nueva forma de clasificación de los hexagramas en 8 familias, aunque el significado de este resultado necesita ser explorado en mayor profundidad.
          Las herramientas han probado ser capaces de proveer una descripción detallada de las nociones introducidas por Cleary, de proveer un análisis del proceso de cambio dentro de una lectura, y, en este trabajo, de analizar dos nociones tradicionales. Creo que el amplio éxito de los análisis formales vistos al usar estas herramientas es indicativo de su aplicabilidad general a las estructuras en el Yi.”

          5. Vecindad o Solidaridad

          Habíamos expresado al comienzo de este artículo (en su sexta parte) que el Dr. Schöter no iba a considerar este concepto de vecindad que pertenece también a lo tradicional.
          Es nuestro propósito completar el tema produciendo un análisis formal posible de este tipo de relaciones entre las líneas de un hexagrama.
          En primer lugar recordaremos que el concepto establece que hay vecindad entre dos líneas adyacentes siempre que estas sean complementarias, pero además se requiere que de las dos líneas la que está en posición más baja sea de tipo yang para que la relación sea “legítima” y de buenos resultados en general, la relación existe pero es “ilegítima” en el caso contrario.
          Si un rasgo no tiene ‘vecinos’ complementarios se lo considera como ‘aislado’. [Schl. 87]
          La interpretación en esta relación se vuelve compleja en general dado que las relaciones de correspondencia se imponen sobre las de vecindad y también interviene la corrección de los rasgos a favor o en contra de esta relación.
          La relación de vecindad cobra más importancia para la interpretación si se produce entre dos líneas móviles o si una de ellas se encuentra reforzada en tanto que regente del hexagrama.
          Sin profundizar más en las variantes interpretativas pasaremos a una tentativa de formalización que nos permita determinar la relación de vecindad ‘legítima’.

          6. Determinación de los casos de Vecindad (V
L y VI)

          En primer lugar recordaremos lo propuesto – en la primer parte de esta serie de artículos – en cuanto a las tablas de ‘Verdad’ que corresponden a los diversos operadores lógicos contemplados (tablas 16 y 17, que aquí numeramos como 3 y 4).

Nombre
Lógico
Interpretación Notación Independencia Conmutatividad Fórmula lógica
Not Complemento ~x    
Or Unión x | y  
And Intersección x & y No ~(~x | ~y)
Dif Diferencia x – y No No x & (~y)
Xor Diferencia
Simétrica
x ^ y No (x – y) | (y – x)

Tabla N° 3


x y ~x ~y x | y x & y x - y y - x x ^ y
0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 0 0

Tabla N° 4



          También recordaremos que el Dr. Schöter llama ‘diferencia’ a lo que en realidad se denomina ‘diferencia simétrica’, no utilizando el operador de diferencia presentado en las tablas 3 y 4, y que una característica de este operador es la de ser ‘no conmutativo’   ( x1 – x2 ≠ x2 – x1 ).

          Para lograr los objetivos propuestos (vecindad ‘legítima’) se deben realizar tres pasos de análisis:

          1°) Analizar cada par de líneas adyacentes (posible vecindad)

          2°) Ver si son complementarias (sí, son vecinas)
        
          3°) ver si la inferior de ellas es yang (vecindad ‘legítima’)


          6.1 – Notaciones

          Llamamos como antes  G  al hexagrama bajo análisis:

                            G = [a, b, c, d, e, f]

          Al análisis de Vecindad lo llamaremos: AV
          A la vecindad por complementariedad la llamaremos: VC
          Al aislamiento entre pares lo llamaremos:  AI
          Al aislamiento total de una línea lo llamaremos:  AT
          A la vecindad ‘legítima’ la llamaremos:  VL
          A la vecindad ‘ilegítima:  VI

          6.2 – Consideraciones generales

          Veamos en primer lugar cuantos pares se deben analizar.
          Según el punto 1°), mencionado con anterioridad, tenemos en principio 5 pares para analizar:

          a , b  ;  b , c  ;  c , d  ;  d , e  y  e , f

          Agregaremos un par que es más ‘invisible’, con la idea de completar un hexagrama de análisis y poniendo de manifiesto el vínculo de las dos líneas extremas del hexagrama, la primera y la sexta. Como dice en su poema dedicado al I Ching, Jorge Luis Borges: “Quien se aleja de su casa ya ha vuelto”

                   f , a

          Ahora, en total tenemos 6 pares que analizar.
          Si queremos ver cuales son complementarios utilizamos como antes la diferencia simétrica:
          a ^ b  ;  b ^ c  ;  c ^ d  ;  d ^ e  ;  e ^ f  ;  f ^ a

                              Los pares de líneas complementarias dan, a través del operador lógico diferencia simétrica, siempre el valor 1 (yang), como podemos apreciar a través de las columnas pertinentes de la tabla 4:

x y x ^ y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Tabla N° 5



          Para estos valores (1) hay vecindad, pero todavía no sabemos si es ‘legítima’ o ‘ilegítima’.
          En los casos en que no haya complementariedad tenemos siempre el valor 0 (yin).
          Como antes mencionáramos la vecindad ‘legítima’ se da cuando el rasgo inferior es yang (valor 1).
          Para separar en dos clases el caso de complementariedad, así determinamos cuando esta vecindad es ‘legítima’ o ‘ilegítima’, debemos utilizar una operación lógica no conmutativa.
          Esta operación es la diferencia:    x – y   cuya tabla (columnas pertinentes de la tabla 4) es:

x y x - y
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0

Tabla N° 6



          Esta nos permite determinar que la vecindad ‘legítima’ se da cuando la operación lógica diferencia (que podemos denominar como Dif ) nos da el valor 1 (yang) y la vecindad ‘ilegítima’ se da cuando la operación lógica Dif nos da el valor 0 (yin).
          Cuando no se da complementariedad tenemos el caso de aislamiento interno de los pares, en el que falta vecindad para una línea en un sentido (AI) – podría dicha línea tener aislamiento total (AT).
          Por lo anterior la discriminación correspondiente se puede realizar previamente con un operador lógico conmutativo como es la diferencia simétrica.
          Veamos todo lo expresado a través de un ejemplo:

          Sea   G = [a, b, c, d, e, f] = [1, 1, 1, 0, 0, 1]   que corresponde al hexagrama 26 – “La Fuerza Domesticadora de lo Grande”

          1°) Análisis de vecindad y aislamiento entre pares de líneas
          AV = [1 ^ 1, 1 ^ 1, 1 ^ 0, 0 ^ 0, 0 ^ 1, 1 ^ 1]

          AV = [0, 0, 1, 0, 1, 0]
          Lo que significa que solamente hay vecindad en el par de líneas tercera – cuarta y en el par quinta – sexta
          VC = [c , d ; e , f]

          Siendo los otros casos de aislamiento entre pares
          AI = [a , b ; b , c ; d , e ; f , a]

          2°) Discriminación entre vecindad ‘legítima’ e ‘ilegítima’
          Se practica entre los casos en que hay vecindad por complementariedad y se lo hace mediante la operación lógica Dif

          V = [c – d  ;  e – f ] = [1 – 0  ;  0 – 1] = [1 ; 0] = [VL ; VI]

          Entonces los rasgos tercero y cuarto tienen vecindad ‘legítima’ y los rasgos quinto y sexto vecindad ‘ilegítima’.

          6.3 – Diagrama lógico general para el análisis de pares de líneas



          6.4 – Determinaciones directas

          1°) Determinación directa de la vecindad  ‘legítima’

          Si lo que interesa es determinar los casos de vecindad ‘legítima’ solamente, podríamos haber partido de la aplicación del operador lógico diferencia directamente a G.
          En el ejemplo dado:  G = [1, 1, 1, 0, 0, 1]

          VL = [1 – 1 ; 1 – 1 ; 1 – 0 ; 0 – 0 ; 0 – 1 ; 1 – 1] = [0, 0, 1, 0, 0, 0] 

          y determinamos que solamente el par  c , d  tiene vecindad ‘legítima’ por dar valor 1 (yang).
          Los casos de vecindad ‘ilegítima’ y de aislamiento han quedado indicados por los valores 0 (yin) sin poder discriminarse.

          2°) Determinación directa de la vecindad ‘ilegítima’

          Si a partir de G queremos determinar directamente los casos de vecindad ‘ilegítima’ podríamos hacerlo invirtiendo todos los pares y luego al aplicar el operador diferencia, el valor 1 (yang) que se obtiene indica los casos de vecindad ‘ilegítima’:

                   G = [a, b, c, d, e, f]

                   VI = [ b – a  ; c – b ; d – c ; e – d ; f – e ; a – f ]

          Tomando el ejemplo anterior:

                   G = [1, 1, 1, 0, 0, 1]

                   VI = [1 – 1 ; 1 – 1 ; 0 – 1 ; 0 – 0 ; 1 – 0 ; 1 – 1]

                   VI = [0, 0, 0, 0, 1, 0]

          y tendríamos vecindad ‘ilegítima’ en el par constituido por los rasgos quinto y sexto.

          3° - Determinación directa del aislamiento interno de los pares
          Esto se consigue mediante un operador lógico complementario al de diferencia simétrica, que es denominado usualmente como Equivalencia.

                   Eq = ~(x ^ y)  que se suele simbolizar como:    ≡

          La tabla de Verdad correspondiente sería:

x y x ^ y ~(x ^ y)
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1

Tabla N°7


          Si en el ejemplo dado en que  G = [a, b, c, d, e, f] = [1, 1, 1, 0, 0, 1]  aplicamos este operador Equivalencia tenemos:

          AI = [1 ≡ 1, 1 ≡ 1, 1 ≡ 0, 0 ≡ 0, 0 ≡ 1, 1 ≡ 1] = [1, 1, 0, 1, 0, 1]

          Los unos (yang) indican ahora los casos de aislamiento dentro de los  pares de líneas:

          Primer uno:     Par  a , b  aislado
          Segundo uno:  Par  b , c  aislado
          Tercer uno:     Par  d , e  aislado
          Cuarto uno:     Par  f , a  aislado

          Nos falta considerar ahora la forma de hallar los casos de líneas aisladas respecto de ambas líneas adyacentes (con la misma salvedad anterior de considerar como adyacentes las líneas primera y sexta), lo que habíamos notado como aislamiento total  AT

          4° - Determinación directa del aislamiento total de una línea (AT)

          Una forma de determinación directa del aislamiento total de una línea se obtiene de las siguientes consideraciones:
          El aislamiento total de una línea se da cuando ésta se encuentra aislada respecto a la línea anterior y a la posterior.
          Entonces tenemos que hallar la equivalencia dentro del par formado por ella y la línea anterior y también la equivalencia entre ella y la línea posterior, las dos tienen que conducirnos al número 1 (yang) para que haya aislamiento total (AT) y ello se verifica con la intersección (&) de estas dos equivalencias.
          Entonces, siendo   G = [a, b, c, d, e, f]   resulta:
          AT = [(a ≡ b) & (a ≡ f) , (b ≡ c) & (b ≡ a) , (c ≡ d) & (c ≡ b) ,
          (d ≡ e) & (d ≡ c) , (e ≡ f) & (e ≡ d) , (f ≡ a) & (f ≡ e)]

          Nuevamente los unos indicarán la condición de aislamiento total de la línea.

          Veamos un ejemplo de aplicación:

          G = [a, b, c, d, e, f] = [1, 1, 1, 0, 0, 1]
          resulta:
          AT = [(1 ≡ 1) & (1 ≡ 1) , (1 ≡ 1) & (1 ≡ 1) , (1 ≡ 0) & (1 ≡ 1) ,
          (0 ≡ 0) & (0 ≡ 1) , (0 ≡ 1) & (0 ≡ 0) , (1 ≡ 1) & (1 ≡ 0)]

          Utilizando la Tabla N° 7 [(x ≡ y , ~(x ^ y)]  tenemos:

          AT = [1 & 1 , 1 & 1 , 0 & 1 , 1 & 0 , 0 & 1 , 1 & 0]

          y ahora utilizando la Tabla N° 4 (x & y) llegamos finalmente a:

                   AT = [1, 1, 0, 0, 0, 0]

          Esto nos indica que la primer y segunda línea se encuentran en aislamiento total.

 

(Continuará)

Autor: Ing. Raúl Jurovietzky

 

          7.  Referencias

  1. Andreas Schöter. “Correctness and Correspondence”. The Oracle. The Journal of the Yijing Studies, Vol. 2, N° 8. Febrero de 1999, pp. 25-37. ISSN 1463-6220.
  2. Thomas Cleary. “The Tao of Organization: the I Ching for Group Dynamics”. Boston: Shambhala Publications, Inc., 1988. ISBN 1 57062 086 5. [Clea 88]
  3. Andreas Schöter. “Boolean Álgebra and the Yi Jing”. The Oracle: the Journal of Yijing Studies, Vol. 2, Number 7, Summer 1998, pp. 19-34. ISSN 1463-6220. [Sch. 98]
  4. Thomas Cleary. “I Ching Mandalas: a Program of Study for the Book of Changes”. Boston: Shambhala Publications, Inc. 1989. ISBN 0 87773 418 6. [Cle 89]
  5. Richard Wilhelm. “I Ching. El Libro de las Mutaciones”. Ediciones Edhasa. Libro Segundo, Shuo Kua, p. 350. 11 reimpresión, 1990, ISBN 84-350-1902-0.
  6. Richard Smith. “The Languages of the Yi Jing and the Representation of the Reality”. The Oracle: the Journal of Yijing Studies, Volume 2, Number 7, Summer 1998, pp. 35-50. ISSN 1463-6220.
  7. Richard Wilhelm. Idem (5). pp. 450-451.
  8. Jean-Philippe Schlumberger. “Yi King. Principes, pratique et interprétation”. Editions Dangles, collection “horizons spirituels”. 1987. ISBN: 2-7033-0301-7. [Schl. 87]
 

Imprimir el artículo


Raśl Jurovietzky
Ingeniero
E-Mail: rauljuro@saiching.org

 




Hexagrama N° 56 Lü / El Andariego - El Viaje -
Por la Poeta - Narradora Lucía Rosso
Hexagrama N° 16 Yü / El Entusiasmo-
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Ensayo completo sobre I Ching y Sincronicidad
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Iching y Salud
Por la Doctora Beatriz Rodriguez
Metáforas cruzadas entre el I Ching, la Psicología Analítica y la Física Cuántica
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Hexagrama N° 5 Hsü / La Espera (La Alimentación),
"Un Enfoque Psicológico Transpersonal"
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Posibilidades y Probabilidades en el método de los tetraedros
- Comparaciones con otros métodos-
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Algunas reflexiones sobre los hexagramas N° 3 y N° 31
Hexagrama N° 3 Chun / La Dificultad Inicial
Hexagrama N° 31 Hsien / El Influjo (El Cortejo)

Por la Docente Rosa Shapira
Hexagrama N° 25 Wu Wang / La Inocencia (Lo Inesperado)
"Un Enfoque Psicológico Transpersonal"

Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Hexagrama N° 2 K´un / Lo Receptivo y Salud
Por la Doctora Beatriz Rodriguez
Polaridades, Anillos y Territorios en el I Ching
Por el Licenciado Miguel Weil
I Ching, algunas diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
(1° Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
I Ching, algunas diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
(2° Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
I Ching, algunas diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
(3° Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
I Ching, algunas diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
(4° Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
I Ching, algunas diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
(5° Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
I Ching, algunas diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
(6° Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
I Ching, algunas diferencias entre los métodos tradicionales para su consulta
(7° Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Cómo enfrentar el problema de una respuesta del I Ching con muchas líneas móviles
(1º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Cómo enfrentar el problema de una respuesta del I Ching con muchas líneas móviles
(2º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
EL SENDERO DEL HÉROE Y LOS HEXAGRAMAS DEL I CHING
Los estados de conciencia del arquetipo del guerrero
"Un Enfoque Psicológico Transpersonal"
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Cómo enfrentar el problema de una respuesta del I Ching con muchas líneas móviles
(3º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Asociaciones en torno al hexagrama 50 - El Caldero
Por la Docente Rosa Shapira
Hexagrama N° 16 Yü / El entusiasmo,
"Un Enfoque Psicológico Transpersonal"
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Cómo enfrentar el problema de una respuesta del I Ching con muchas líneas móviles
(4º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching
(1º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching
(2º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Hexagrama N° 27, I "La Boca, La Alimentación"
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Reflexiones sobre el Tiempo y el I Ching
Por la Docente Rosa Shapira
Hexagrama N° 48, Ching "El Pozo de Agua"
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Hexagrama N° 50, Ting "El Caldero"
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Polaridades, Anillos y Territorios en el I Ching
(parte 2 de 3)
Por el Licenciado Miguel Weil
Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching
(3º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Hexagrama N° 49, Ko "La Revolución"
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching
(4º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching
(5º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Algunasreflexiones sobre el tema del destino en la poesía de Borges dedicada al IChing
(1º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Hexagrama N· 63, Chi Chi, “La Conclusión”
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Hexagrama N· 64, Wei Chi, “Inconcluso”
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Algunas reflexiones sobre el Hexagrama 43 (El Desbordamiento, La Resolución)
Por la Docente Rosa Shapira
Algunasreflexiones sobre el tema del destino en la poesía de Borges dedicada al IChing
(2º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Hexagrama Nº 1, Ch’ien, El Cielo,  “Lo Creativo”
Por la Licenciada Yolanda Ohanna
Más allá del oráculo
(o conversando con el I Ching)
Por Nené Montero
Yi Jing y el Budismo en elJapón de la Era Tokugawa
Por Luis E. Andrade
Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching
(6º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Algunasreflexiones sobre el hexagrama 5
(la espera, la alimentación)
Por la Docente Rosa Shapira
Algunasreflexiones sobre el tema del destino en la poesía de Borges dedicada al IChing
(3º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Algunasreflexiones sobre el tema del destino en la poesía de Borges dedicada al IChing
(4º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(1º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(2º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(3º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(4º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(5º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(6º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(7º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Noticia Bibliográfica
“Adivinar el Inconsciente”
Por Ezequiel Saad Tobis
Una colaboración desde España
“El I Ching es un grupo finito Abeliano e involutivo”
Por el Licenciado Javier Martínez de la Casa
Aplicación de la teoría de Grupos a la consulta oracular
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(8º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(9º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(10º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(11º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(12º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
Acerca de las secuencias de hexagramas del I Ching
(13º Parte)
Por el Ingeniero Raúl Jurovietzky
   

© SAICHING 1997-2012