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Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching (tercera Parte)




Autor: Ing. Raśl Jurovietzky


      De acuerdo a lo expresado en la segunda parte de este artículo comenzaremos el estudio de la estructura en red que corresponde a los hexagramas.       
  • 2.2.5- Análisis del caso de la red cuyos elementos estructurales están constituidos por hexagramas- 'dimensión' 6

      En este caso tenemos que los niveles resultan ser 7 (siempre uno más que la 'dimensión' y numerados desde cero).
      En el nivel cero tendremos:
                                                       C6 , 0 = 6 ! / 0 ! (6 - 0) ! = 1

      o sea un elemento: 000000 que refleja la "yangnesidad" 0

      En el nivel uno tendremos:
                                                       C6 , 1 = 6 ! / 1 ! (6 - 1) ! = 6

      seis elementos de "yangnesidad" 1:

      000001 ; 000010 ; 000100 ; 001000 ; 010000 y 100000

      En el nivel dos tendremos:
                                                       C6 , 2 = 6 ! / 2 ! (6 - 2) ! = 15

      o sea quince elementos de "yangnesidad" 2:

      000011 ; 000101 ; 000110 ; 001001 ; 001010 ; 001100 ; 010001 ;

      010010 ; 010100 ; 011000 ; 100001 ; 100010 ; 100100 ; 101000 y

      110000

      En el nivel tres tendremos:
                                                       C6 , 3 = 6 ! / 3 ! (6 - 3) ! = 20

      veinte elementos de "yangnesidad" 3:

      000111 ; 001011 ; 001101 ; 001110 ; 010011 ; 010 101 ; 010110 ;

      011001 ; 011010 ; 011100 ; 100011 ; 100101 ; 100110 ; 101001 ;

      101010 ; 101100 ; 110001 ; 110010 ; 110100 y 111000

      Nótese que estamos dando un ordenamiento de menor a mayor en el sistema de numeración binario. Esto resulta conveniente para identificar a los hexagramas por su posición dentro de su 'dimensión' o nivel horizontal.
      Así, por ejemplo diremos que:
                                                       x3 , 8 = 011001

      El primer subíndice indicará pues la 'dimensión' a que pertenece el elemento, o sea su "yangnesidad", en tanto el segundo es indicativo de la posición dentro del ordenamiento dimensional (binario de menor a mayor).

      En el nivel cuatro tendremos:
                                                       C6 , 4 = 6 ! / 4 ! (6 - 4) ! = 15

      Quince elementos de "yangnesidad" cuatro:

      001111 ; 010111 ; 011011 ; 011101 ; 011110 ; 100111 ; 101011 ;

      101101 ; 101110 ; 110011 ; 110101 ; 110110 ; 111001 ; 111010 y

      111100

      En el nivel cinco tendremos:
                                                       C6 , 5 = 6 ! / 5 ! (6 - 5) ! = 6

      Seis elementos de "yangnesidad" cinco:

      011111 ; 101111 ; 110111 ; 111011 ; 111101 y 111110

      Finalmente, en el nivel seis tendremos:
                                                       C6 , 6 = 6 ! / 6 ! (6 - 6) ! = 1

      Un elemento de "yangnesidad" seis: 111111

      En total tenemos: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 26 = 64 elementos o sea 64 hexagramas.
      Si hubiésemos utilizado el 'Triángulo de Tartaglia', la 'dimensión' sexta hubiese conducido a los mismos resultados:


      2.2.5.1- Análisis de conectividad

      Tratemos de aproximarnos ahora a determinar la conectividad en la red de hexagramas.
      Primero de todo precisemos que se mantiene el hecho de que en un mismo nivel los hexagramas no se encuentran conectados.
      En segundo lugar está dada la conectividad que existe entre los niveles 0 y 1 por un lado y la de los niveles 5 y 6 por el otro.
      000000 está conectado con los seis hexagramas del nivel 1:

      000001 ; 000010 ; 000100 ; 001000 ; 010000 y 100000

      111111 está conectado con los seis hexagramas del nivel 5:

      011111 ; 101111 ; 110111 ; 111011 ; 111101 y 111110

      Queda por determinar la conectividad entre los niveles 1-2 ; 2-3 ; 3-4
      y 4-5.

      2.2.5.1.1- Análisis de conectividad entre los niveles 1 y 2

      Empecemos por el análisis de conectividad entre los niveles 1-2.
      Hagámonos la siguiente pregunta:

      ¿Con cuántos hexagramas del nivel 2 está conectado uno del nivel 1?

      Sabemos que en el nivel 1 hay 6 hexagramas y en el nivel 2 tenemos 15 hexagramas.


      La invariancia que habíamos visto para las redes de digramas y trigramas se mantiene en la red de hexagramas.
      Tenemos para estos dos niveles:
                                                       x1, 1 | x1, _ = y2, _

      Donde por x1, 1 queremos significar lo siguiente: el primer subíndice indica el nivel al que pertenece el hexagrama y el segundo indica uno de los seis hexagramas del nivel 1, en este caso el primero. En la figura 2 resultaría:
                                                       x1, 1 = 000001

      Además   y2, _   indica los hexagramas del nivel 2 que resultan de la operación lógica OR entre dos hexagramas del nivel 1 (de ahí que en la notación hallamos dejado genéricamente como subíndice segundo al guión)
      Esos   y2, _   están conectados con los    x1, _   del nivel anterior que los han generado a través de la operación lógica mencionada.
      En la notación que estamos utilizando para una generación de sentido ascendente siempre denominaremos como las x a aquellas del nivel inferior y como y a las de nivel, en este caso consecutivo superior.
      Recordamos que el orden horizontal entre los hexagramas (en el mismo nivel) que utilizaremos es el orden creciente de la numeración binaria correspondiente.
      Siendo:                                  x1, 1 = 000001 y x1, 2 = 000010

      resulta:      x1 , 1 | x1 , 2 = 000001 | 000010 = 000011 = y2 , 1

      En la figura número 2 se muestra en punteado en colorado las conectividades asociadas con el ejemplo dado.
      Podemos a partir del ejemplo y del carácter de la operación lógica unión (OR) abstraer los resultados posibles de y para un x dado (se entiende que x e y son de niveles consecutivos): son todos los y que mantengan los dígitos 1 (yang) del nivel x que mantenemos fijo.
      Ejemplificando:
                             para x1 , 1 = 000001 serán

      y2, 1 = 000011 ; y2, 2 = 000101 ; y2, 4 = 001001

      y2, 7 = 010001 ; y2, 11 = 100001

      y también han quedado definidos los 'partenaires' del x fijado:

      x1, 2 = 000010 ; x1, 3 = 000100 ; x1, 4 = 001000

      x1, 5 = 010000 ; x1, 6 = 100000

      Si ahora fijamos x1, 2 = 000010 los y2, _  conectados serían todos aquellos del nivel inmediato superior que tengan 1 (yang) en la quinta posición:
      y2, 1 = 000011 ; y2 , 3 = 000110 ; y2, 5 = 001010

      y2, 8 = 010010 ; y2, 12 = 100010

      y también quedan definidos los 'acompañantes' del x1, 2 en la producción de los y anteriores:

      x1, 1 = 000001 ; x1, 3 = 000100 ; x1, 4 = 001000

      x1, 5 = 010000 ; x1, 6 = 100000

      De la misma forma podemos proceder con los restantes x del nivel 1.
      Vemos, lo que contesta la pregunta que nos formuláramos, que cada hexagrama del nivel 1 está conectado con cinco hexagramas del nivel 2.
      Podemos plantearnos otra pregunta aquí, que es más 'fuerte' que la anterior en cuanto a su utilidad y que comienza a poner de manifiesto las posibilidades de un operador lógico no conmutativo, el que definiéramos como operador diferencia:

      Dados dos hexagramas de niveles consecutivos ¿cómo puedo saber si están conectados o no lo están en la red?

      Llamando x al del nivel inferior e y al del consecutivo superior, si aplicamos el operador lógico diferencia tendremos:

      "x - y = inf para todos aquellos hexagramas conectados directamente por líneas."

      Si aplicamos esta regla a los ejemplos vistos con anterioridad tendremos que si nos preguntamos:
      ¿Están conectados directamente por líneas los hexagramas x1, 3 e y2, 9 ?

      Siendo x1, 3 = 000100 e y2, 9 =010100 será:

      x1, 3 - y2, 9 = 000100 - 010100 = 000000 = inf

      entonces podemos afirmar que están conectados directamente por líneas.

      Si ahora tomamos los hexagramas 000100 y 100001 y nos hacemos la misma pregunta, tenemos que:

      000100 - 100001 = 000100 ≠ inf

      con lo que podemos decir que no están conectados en la red.

      Prosigamos ahora con lo que habíamos concluido sobre que cada hexagrama del nivel 1 está conectado con cinco hexagramas del nivel 2.
      Como en el nivel 1 tenemos 6 hexagramas, en total del nivel 1 'salen' hacia el nivel 2:
                                                       6 x 5 = 30 conexiones

      Habiendo en el nivel 2 un total de 15 hexagramas, a cada uno le 'llegarán' desde el nivel 1:
                                                       30 / 15 = 2 conexiones

      ¿Cuáles le llegarán, por ejemplo, al hexagrama 000011?

      Utilicemos ahora el operador lógico intersección (AND) que habíamos visto que proporciona un 'descenso' en los niveles de la red.

      Sabemos que y2, 1 = 000011 y ensayemos valores posibles de x1, _

      Por ejemplo tomemos x1, 1 = 000001

      x1, 1 & y2, 1 = 000001 & 000011 = 000001 = x1, 1

      esto indicaría que se encuentran conectados.

      Veamos ahora que sucede con x1, 2 = 000010

      x1, 2 & y2, 1 = 000010 & 000011 = 000010 = x1, 2

      lo que también indica que están conectados.
      Tengamos en cuenta que el operador lógico intersección es conmutativo, así que: x1, 2 & y2, 1 = y2, 1 & x1, 2

      Entonces, en general, la conectividad de un hexagrama de nivel 1 con otro hexagrama del nivel superior consecutivo está dada también por la siguiente regla descendente (hasta ahora válida para los niveles 1 y 2, luego veremos de generalizarla en otros niveles):

      "Si dados x1, _ e y2, _ su intersección (AND) da x1, _ es que dichos hexagramas están conectados en la estructura en red de hexagramas".

      Sigamos viendo el ejemplo anterior con y2, 1 = 000011
      Ahora tomemos x1, 3 = 000100

      x1, 3 & y2, 1 = 000100 & 000011 = 000000 = inf

      lo que indica que no están conectados.
      Resulta lo mismo para los otros x: x1, 4 ; x1, 5 y x1, 6

      x1, 4 = 001000 x1, 4 & y2, 1 = 001000 & 000011 = inf

      x1, 5 = 010000 x1, 5 & y2, 1 = 010000 & 000011 = inf

      x1, 6 = 100000 x1, 6 & y2, 1 = 100000 & 000011 = inf

      Así generalizando para los niveles 1 y 2 resulta la regla siguiente:

      "Si dados x1, _ e y2, _ la operación lógica diferencia da inf o su intersección da x1, _ es que hay conexión entre ellos. Si su diferencia lógica no es inf o si su intersección no da x1, _ es que no hay conexión entre ellos en la estructura en red."

      2.2.5.1.2- Análisis de conectividad entre los niveles 2 y 3

      ¿Qué ocurre con la conectividad entre los niveles 2 y 3 ?

      En el nivel 2 sabemos que hay 15 hexagramas y en el nivel 3 que hay 20 hexagramas.


      Tomemos como fijo, para ejemplificar, uno cualquiera del nivel 2

      Por ejemplo:     x2, 4 = 001001
      Los y3, _ posibles conectados son los que tengan unos (yangs) en la misma posición:
      y3, _ = _ _ 1 _ _ 1

      Como en el nivel 3 tenemos una "yangnesidad" 3, nos falta un yang más, que podemos ubicar en una cualquiera de las cuatro posiciones vacías, dando cada ubicación un hexagrama diferente, es decir tenemos cuatro hexagramas conectados que son:

      y3, 2 = 001011 ; y3, 3 = 001101 ; y3, 8 = 011001 ; y3, 14 = 101001

      Lo mismo ocurre con otro x2, _ , entonces por cada hexagrama del segundo nivel tendremos cuatro conexiones hacia el tercer nivel. Como son 15 hexagramas al tercer nivel llegarán:
                  15 x 4 = 60 conexiones

      Al haber 20 hexagramas en el tercer nivel a cada uno de ellos llegarán:
                  60 / 20 = 3 conexiones

      Si queremos ubicar en la próxima figura los hexagramas que 'salen' de un elemento del nivel 2 como el del ejemplo dado: x2, 4 = 001001 , utilizamos los cuatro valores de y3, _ obtenidos, dicha ubicación está marcada con las flechas punteadas en colorado:


      Y si queremos visualizar las tres conexiones que llegan a un hexagrama dado del nivel 3 ¿cómo encontramos los tres hexagramas del nivel 2 de donde parten estas tres conexiones?
      Tomemos como ejemplificación uno de los hexagramas del tercer nivel.
      Sea y3, 16 = 101100

      ¿Con cuáles x2, _ está conectado este hexagrama?

      El razonamiento sería el siguiente:

  1. El hexagrama conectado del nivel consecutivo anterior debe mantener los ceros (yins) que aparecen en el y dado.
  2. El hexagrama conectado del nivel consecutivo anterior debe tener dos unos (yangs) en las mismas posiciones en que hay unos (yangs) en el de nivel consecutivo superior, la posición sobrante es completada por un cero (yin).

      En el caso dado como ejemplo por 1 sería: x2, _ = _ 0 _ _ 0 0
      Aplicando 2 tendríamos que el número de casos viene dado por el número combinatorio de grupos de dos (yangs) ubicados en tres posiciones.

                  C3, 2 = 3 ! / 2 ! (3 - 2) ! = 3

      De esta manera los hexagramas que cumplen los requisitos serían:

                  001100 = x2, 6

                  100100 = x2, 13

                  101000 = x2, 14

      Su visualización está dada en la figura siguiente:


      Veamos ahora que ocurre al aplicar la regla utilizada para determinar la conectividad en los niveles 1 y 2, utilicemos el ejemplo ya dado en el que x2, 4 = 001001 y tomemos a y3, 2 = 001011

  1. Diferencia: x2, 4 - y3, 2 = 001001 - 001011 = 000000 = inf
    hay conexión

  2. Intersección: x2, 4 & y3, 2 = 001001 & 001011 = 001001 = x2, 4
    también indica que hay conexión.

      Por supuesto no debe haber contradicción entre lo obtenido en ambos casos.
      Tomemos ahora un y3, _ no perteneciente a los cuatro obtenidos antes.
      Sea y3, 9 = 011010 con el mismo x2, 4 = 001001

  1. Diferencia: x2, 4 - y3, 9 = 001001 - 011010 = 000001 … inf
    no hay conexión entre ellos.
  2. Intersección: x2, 4 & y3, 9 = 001001 & 011010 = 001000 … x2, 4
    lo que también indica que no hay conexión entre ellos.

      Podemos generalizar la regla de conectividad para niveles consecutivos de una estructura de hexagramas de la siguiente forma:

      "Si dado xi, _ e yi+1, _ la operación lógica diferencia da inf o su intersección da xi, _ es que hay conexión entre los dos elementos. Si su diferencia lógica no es inf , o si su intersección no da xi, _ es que no hay conexión entre ellos en la estructura de red".

      2.2.5.1.3- Análisis de conectividad entre los niveles 3 y 4

      ¿Qué ocurrirá entre los niveles 3 y 4?

      Sabemos que en el nivel 3 tenemos 20 hexagramas y en el nivel 4 hay 15 hexagramas.


      Tomemos un elemento del tercer nivel.

      Por ejemplo, x3, 5 = 010011

      ¿Con cuántos elementos del cuarto nivel se puede conectar?

      Se conectará con aquellos elementos del nivel 4 que tengan los unos (yangs) en la misma posición. Lógicamente en el nivel 4 habrá un uno (yang) más. Precisamente la ubicación de este nuevo yang nos dará los distintos elementos conectados de este nivel y la cantidad de los mismos.

      y4, _ = _ 1 _ _ 11

      Resultará: 010111 = y4, 2 ; 011011 = y4, 3 ; 110011 = y4, 10

      Es decir, cada hexagrama del nivel 3 se conectará con tres hexagramas del nivel 4. O sea de cada hexagrama del nivel 3 'saldrán' tres conexiones.


      Como en el nivel 3 tenemos 20 hexagramas, de este nivel 'saldrán' en total:
      20 x 3 = 60 conexiones

      y como en el nivel 4 hay 15 hexagramas, a cada uno de éstos 'llegarán':
      60 / 15 = 4 conexiones

      Sea el hexagrama: y4, 2 = 010111

      ¿De dónde le llegan sus 4 conexiones?

      Por lo visto con anterioridad se debe cumplir que:

  1. El hexagrama conectado del nivel consecutivo anterior debe mantener los ceros (yins) que aparecen en el y dado.
  2. El hexagrama conectado del nivel consecutivo anterior debe tener tres unos (yangs) en las mismas posiciones en que hay unos (yangs) en el de nivel consecutivo superior, la posición sobrante es completada por un cero (yin).

      Será: x3, _ = 0 _ 0 _ _ _ (condición 1)

      Ahora para aplicar la condición 2 debemos colocar tres unos en las cuatro posiciones libres.       Las formas distintas de realizarlo están dadas por el número combinatorio de grupos de 3 colocables en cuatro posiciones:

                  C4, 3 = 4 ! / 3 ! (4 - 3) ! = 4

      y estos cuatro hexagramas serán:

                  x3, 1 = 000111 ; x3, 5 = 010011

                  x3, 6 = 010101 ; x3, 7 = 010110


      Si aplicamos el operador lógico intersección en los cuatro casos tendremos:

      x3, 1 & y4, 2 = 000111 & 010111 = 000111 = x3, 1

      x3, 5 & y4, 2 = 010011 & 010111 = 010011 = x3, 5

      x3, 6 & y4, 2 = 010101 & 010111 = 010101 = x3, 6

      x3, 7 & y4, 2 = 010110 & 010111 = 010110 = x3, 7

      lo que indica que hay conexión en los cuatro casos.

      Si hubiésemos aplicado el operador diferencia también tendríamos la indicación de conectividad al obtener en los cuatro casos el valor inf :

      000111 - 010111 = 000000 = inf ; 010011 - 010111 = 000000 = inf

      010101 - 010111 = 000000 = inf ; 010110 - 010111 = 000000 = inf

      Pasemos ahora al análisis de conectividad entre los niveles 4 y 5

      2.2.5.1.4.- Análisis de conectividad entre los niveles 4 y 5

      Sabemos que en el nivel 4 hay 15 hexagramas y que en el nivel 5 hay 6 hexagramas
      ( C6, 4 = 15 y C6, 5 = 6).


      Tomemos un elemento del cuarto nivel.
      Sea:
                  x4, 2 = 010111

      Este elemento conectaría a aquellos y5, _ que tuviesen los unos (yangs) en la misma posición:
                  y5, _ = _ 1 _ 111

      y como en el quinto nivel se agrega un uno (yang), las posibilidades son:
                  y5, 1 = 011111 ; y5, 3 = 110111

      De cada x4, _ 'saldrían' dos conexiones.

                  C2, 1 = 2 ! / 1 ! (2 - 1) ! = 2


      Como en el nivel 4 hay 15 hexagramas, en total 'saldrían':

                  15 x 2 = 30 conexiones

      En el nivel 5 hay 6 hexagramas, a cada uno le 'llegarían':

                  30 / 6 = 5 conexiones

      ¿Cuáles son los hexagramas del nivel 4 conectados a uno determinado del nivel 5?
      Sea, por ejemplo:             y5, 3 = 110111

      Nuevamente las conexiones que le 'lleguen' desde el nivel 4 son aquellas que cumplan con las dos condiciones vistas con anterioridad, que por comodidad de lectura volvemos a transcribir aquí:

  1. El hexagrama conectado del nivel consecutivo anterior debe mantener los ceros (yins) que aparecen en el y dado.
  2. El hexagrama conectado del nivel consecutivo anterior - x - debe tener cuatro unos (yangs) en las mismas posiciones en que hay unos en las y.

      Será entonces en este caso: x4, _ = _ _ 0 _ _ _

      La cantidad de casos se calcula como hicimos con anterioridad, son grupos de 4 unos que pueden ir de forma distinta en cinco posiciones:

                  C5, 4 = 5 ! / 4 ! (5 - 4) ! = 5

      Tendríamos los siguientes 5 casos:

      x4, 2 = 010111      ;      x4, 6 = 100111      ;      x4, 10 = 110011

      x4, 11 = 110101      ;      x4, 12 = 110110


      Para cada uno de estos x se verifica que:

      x4, _ - y5, 3 = inf        y        x4, _ & y5, 3 = x4, _

      o sea que verifican la conectividad.

      Finalmente debemos considerar la conectividad entre los niveles 5 y 6.

      2.2.5.1.5- Análisis de conectividad entre los niveles 5 y 6

      Sabemos que en el quinto nivel hay 6 hexagramas y en el sexto un solo hexagrama: y6, 1 = 111111


      Del quinto nivel 'saldrán' 6 conexiones que son:

                  x5, 1 = 011111 ; x5, 2 = 101111 ; x5, 3 = 110111
                  x5, 4 = 111011 ; x5, 5 = 111101 ; x5, 6 = 111110

      que 'llegarán' a y6, 1 = 111111, una por cada hexagrama del quinto nivel.
      En la verificación tenemos que, por ejemplo:

      x5, 1 - y6, 1 = 011111 - 111111 = 000000 = inf

      x5, 1 & y6, 1 = 011111 & 111111 = 011111 = x5, 1

      indicándose así de ambas formas la existencia de conexión.
      Lo mismo se extiende a los otros x5, _

      La vista general de los 7 niveles de la red de hexagramas se da a continuación:


      En la figura interior hemos colocado sólo las conexiones entre los niveles 0 - 1 y 5 - 6 porque las demás vuelven irrepresentable la figura.

      ¿Qué número total de conexiones tenemos en toda la estructura en red de hexagramas?

      En los distintos niveles teníamos:

        6 conexiones del nivel 0 al 1
      30 conexiones del nivel 1 al 2
      60 conexiones del nivel 2 al 3
      60 conexiones del nivel 3 al 4
      30 conexiones del nivel 4 al 5
        6 conexiones del nivel 5 al 6

      En total habrá: 6 + 30 + 60 + 60 + 30 + 6 = 192 conexiones.
      Estas conexiones están distribuidas entre los 64 hexagramas que por nivel se reparten de la forma ya vista, que resumimos aquí:

      Nivel 0               1 hexagrama
      Nivel 1               6 hexagramas
      Nivel 2             15 hexagramas
      Nivel 3             20 hexagramas
      Nivel 4             15 hexagramas
      Nivel 5               6 hexagramas
      Nivel 6               1 hexagrama

      Además sintetizamos ahora las cantidades de conexiones que 'salen' y 'llegan' de y a cada hexagrama de un nivel dado:

Nivel
‘Salen’ de cada
hexagrama
‘Llegan’ a cada
hexagrama
0
6
 
1
5
1
2
4
2
3
3
3
4
2
4
5
1
5
6
 
6

Tabla N° 1

      Ya que la representación diagramática resulta dificultosa, debido a la cantidad de conexiones que deberían visualizarse, resulta conveniente establecer, en reemplazo de esa representación, una tabla que indique la conectividad de la estructura en red de hexagramas.
      Ese será el primer objetivo de la próxima entrega de este estudio y también el realizar mayores precisiones respecto al tema de secuenciamientos.

      (Continuará)

 

Autor: Ing. Raúl Jurovietzky

 

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Raśl Jurovietzky
Ingeniero
E-Mail: rauljuro@saiching.org




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