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Elementos de Álgebra Booleana aplicables a las estructuras del I Ching (segunda Parte)




Autor: Ing. Raśl Jurovietzky


          De acuerdo a lo indicado en la primera parte de este artículo corresponde ahora tratar el tema de Ordenamientos.

          2.1.2- Ordenamientos

          Comenzaremos indicando que elementos son relevantes para tener bien definida un Álgebra Booleana.
          En primer lugar las estructuras con las que vamos a trabajar, serán representadas por la letra: E
          ¿Cuáles son estas estructuras en relación con el I Ching?

          2.1.2.1- Estructuras (E)

  1. Las líneas simples: {yin ; yang}, o numéricamente {0 ; 1}
    La notación { } está indicando un conjunto y los valores interiores, separados por punto y coma, los elementos contenidos en dicho conjunto.
  2. El conjunto de cuatro digramas:

       {(yin, yin); (yin, yang); (yang, yin); (yang, yang)}

       ó {00; 01; 10; 11}

  3. El conjunto de ocho trigramas:

    {000; 001; 010; 011; 100; 101; 110; 111}

  4. El conjunto de 64 hexagramas:

    {000000; 000001; 000010; ... ; 111101; 111110; 111111}

          Lo usual una vez que tenemos la estructura de trigramas es pasar a su duplicación, o sea la estructura de hexagramas.
          El proceso de duplicación puede seguir a partir de los hexagramas extendiéndose a 4096 dodecagramas como una quinta estructura. De hecho esta quinta estructura ha sido utilizada en la antigüedad por los chinos y su registro se conoce como: "Yi Lin", la "Foresta de los Cambios".
          Actualmente hay un grupo de trabajo en Europa dedicado a la traducción del chino al inglés de dicho antiguo manuscrito y, por otra parte, reaparece la utilidad de esta estructura analizada por un estudioso del I Ching con relación a los procesos recursivos y a todas las metáforas vinculadas con el funcionamiento del cerebro. Nos referimos a Chris Lofting sobre cuyos trabajos tendremos oportunidad de extendernos en artículos a ser publicados en el futuro. Digamos por ahora solamente que sus estudios incorporan el tema de las líneas móviles que en las estructuras contempladas en el presente artículo no se han analizado todavía.

          2.1.2.2- Operaciones Booleanas

          En esta etapa de definición de un Álgebra Booleana el Dr. Schöter utiliza tres de los operadores lógicos vistos en la primera parte de este artículo.

          1- Operador Complemento (NOT): ~
          2- Operador Unión (OR): |
          3- Operador Intersección (AND): &

          Si somos estrictos solamente son necesarios dos de estos operadores, puesto que un tercero, tal como la intersección, puede ser definido a partir de los otros dos, tal como vimos en la primera parte de este artículo, en donde indicábamos que: x & y = ~(~x| ~y). Pero si no se busca esta rigurosidad, sino el hacer presente los operadores que se utilizarán en el análisis de las estructuras, sus ordenamientos y secuencias se hace conveniente el agregar los tres operadores lógicos que no son independientes: Intersección, Diferencia y Diferencia Simétrica.
          Además de los operadores lógicos en la definición del Álgebra Booleana se introducen dos elementos especiales.

          2.1.2.3- Elementos especiales

          Son dos elementos pertenecientes al nivel de la estructura (E) que estemos considerando.
          O sea que si trabajamos al nivel de digramas son dos de los cuatro digramas, Si trabajamos al nivel de trigramas son dos de los ocho trigramas. Si trabajamos al nivel de hexagramas serán dos de los 64 hexagramas.
          En todos los casos estos dos elementos especiales reflejan al puro yin y al puro yang.
          En el nivel de digramas serán: 00 y 11
          En el nivel de trigramas serán: 000 y 111
          En el nivel de hexagramas serán: 000000 y 111111
          De la misma forma en el nivel de dodecagramas tendremos:

000000000000
          y
111111111111

          Como en los ordenamientos siempre comenzamos como el inferior puro yin y el superior puro yang, a estos elementos especiales los llamaremos: "inf" al puro yin, "sup" al puro yang.

          2.1.2.4- Definiciones de un Álgebra Booleana

          Estamos ahora en condiciones de dar la definición de un Álgebra Booleana.
          En realidad daremos varias definiciones. La primera es la que produce el Dr. Schöter en su estudio:

< E, inf, sup, ~ , | , & >

          La segunda más rigurosa en el sentido de expresar los dos operadores lógicos que se toman como independientes:

< E, inf, sup, ~ , | >

          Y, una tercera que es más orientada hacia la visualización de los operadores lógicos que podemos utilizar en nuestros análisis:

< E, inf, sup, ~ , | , & , - , ^ >

          En esta última recordamos que - representa al operador diferencia y ^ al operador diferencia simétrica.

          2.1.2.5- Leyes Booleanas

          Se definen como tales a:

1- Leyes de Identidad
2- Leyes de Complemento

          Las de Identidad son las siguientes:

1.1-      x | inf = x
1.2-      x & sup = x

          También las Leyes de Complemento son dos:

2.1-      x | ~x = sup
2.2-      x & ~x = inf

          En todo lo anterior hemos seguido el trabajo del Dr. Andreas Schöter
con algunas modificaciones por las diferencias de idioma por un lado, y por otro por las correcciones a la definición de un Álgebra Booleana.
          En su estudio este indica la significativa similitud de su desarrollo con el de Daniel S. Goldenberg, producido en el año 1975, que tuvo por título: "The Álgebra of the I Ching and its Philosophical Implications", y que fue publicado en el Journal of Chinese Philosophy 2, pp. 149-179. D. Reisel Publishing Company. También indica algunas diferencias en los enfoques, señalando como la más importante el hecho de que en su trabajo Goldenberg no define formalmente la operación de complemento, por lo que no estaría en condiciones de definir plenamente las posibles relaciones que tienen lugar entre los hexagramas.
          Debemos por nuestra parte señalar algo similar en la definición que proporciona el Dr. Schöter respecto a la que proporcionamos nosotros y señalar que al no definir formalmente éste al operador lógico diferencia, no será posible una definición de rango completo de las posibles relaciones que pueden obtenerse entre los hexagramas, como veremos en su oportunidad al analizar la estructura en red de los mismos. La importancia de este operador lógico diferencia, descrito formalmente en la primera parte de este estudio, reside en lo fundamental en que es el único operador lógico binario, entre los presentados aquí, que resulta no ser conmutativo.

          Es decir que: x - y ≠ y - x

          Mientras que los demás operadores lógicos binarios: unión, intersección y diferencia simétrica son conmutativos.

          Es decir: x | y = y | x ; x & y = y & x ; x ^ y = y ^ x

          A continuación el Dr. Schöter pasa a considerar el tema de los ordenamientos, comenzando por lo que llama "el Ordenamiento Inducido"

          2.2 - El Ordenamiento Inducido

          El primer tipo de ordenamiento que considera es el "orden parcial" sobre los elementos de estructura de la red.
          La notación utilizada es: x y
          Esto indica que x es anterior o del mismo nivel que y en la ordenación.
          La definición formal de la ordenación parcial está tomada del texto de Stephen A. Wiitala que lleva por título: "Discrete Mathematics: A Unified Approach", (dicho texto es del año 1987, fue editado en New York por Mc Graw-Hill International Editions y la referencia de A. Schöter es a su página 135):

          "Definition 5: Partial Ordering

                    x y      if and only if      x | y = y "

          ¿Cómo se debe aplicar esta definición formal ?

          Primero de todo precisemos la notación empleada, pues pueden dar lugar a confusiones los símbolos empleados.
          Hay dos tipos de significaciones que deben ser distinguidas, uno es el que comentamos antes y se refiere a una comparación de los niveles en que se encuentran los elementos estructurales y el otro es el de la igualdad matemática directa entre dichos elementos.
          Sean, por ejemplo, dos elementos del mismo nivel en digramas:

                    x = 10 ; y = 01

          Evidentemente no son iguales en el sentido aritmético, pero si lo serían al indicar que se hallan en el mismo nivel en la estructura en red.




          Para evitar la confusión posible hacemos lo siguiente: el sentido aritmético lo simbolizamos como de costumbre. Así será x ≠ y para el ejemplo dado, y el sentido de comparación de niveles lo daremos agregando una letra n a la notación. Entonces x n y indicará que x está en menor o en igual nivel que y.
          Entonces la definición formal propuesta por A. Schöter sería:

          "x n y      si y solamente si      x | y = y"

          Vayamos ahora a un ejemplo de aplicación.

          Sean x = 00 ; y = 10

          Tendremos que: x | y = 00 | 10 = 10 entonces se cumple que x | y = y por lo tanto será x n y , esto significa que 00 está en la estructura en red de digramas en menor o igual nivel que 10.
          Evidentemente toda esta aplicación adquiere sentido para llegar a un cálculo lógico que permita, por ejemplo, la programación en ordenadores de las comparaciones entre dos elementos estructurales.
          A nivel humano basta con observar que, en la representación diagramática de la figura número 1, están conectados por líneas directas dos elementos de niveles consecutivos y que el 'mayor' nivel está dado por la mayor "yangnesidad" (valga el neologismo) de los elementos. Es decir en la figura vemos un primer nivel sin líneas yang ("yangnesidad" cero), lo sigue un nivel en el que cada elemento tiene una línea yang ("yangnesidad" uno) y finalmente el nivel superior con dos líneas yang ("yangnesidad" dos).
          Para no ser confusos en los análisis posteriores numeraremos los niveles de acuerdo a su "yangnesidad". Así el primer nivel, en el que se encuentra inf y tiene yangnesidad cero, será a partir de ahora el nivel cero.
          Entonces la red de digramas consta de los niveles: cero, uno y dos.
          Si tomamos ahora como x en la red de digramas a 00 y como y a 01 también verificamos que: x | y = 00 | 01 = 01 por lo que se está diciendo que x está en menor o igual nivel que y. Lo mismo ocurriría si tomamos como x a un elemento del primer nivel (01 ó 10) y como y a 11.

          x | y = 01 | 11 = 11      ó      x | y = 10 | 11 = 11

          Pero en todo esto hay una 'bonita' tautología, pues partimos de tomar a x como el de menor nivel para arribar a la conclusión de que entonces x será de menor o igual nivel que y. ¡Aumentamos así el grado de desconocimiento en lugar de aumentar el grado de conocimiento!.           Unos párrafos más adelante enfrentaremos la tarea de corrección de esta tautología.
          Digamos previamente que la consideración de niveles se mantiene para las otras estructuras, como ser la de trigramas y la de hexagramas, aunque en estas no encontremos conectados todos los elementos en los niveles consecutivos.
          Veamos la figura que corresponde a la red de trigramas:




          Tenemos aquí cuatro niveles:

                    Nivel 0 -      000 = inf
                    Nivel 1 -      100 ; 010 ; 001
                    Nivel 2 -      110 ; 101 ; 011
                    Nivel 3 -      111 = sup

          También observamos acá que los elementos de un mismo nivel no están conectados por líneas directas y que los de niveles consecutivos no conectados tienen una relación complementaria (operador NOT):

                    110 = ~ 001 ; 100 = ~ 011

          Los distintos niveles, como anteriormente, se caracterizan por su 'avance' (hacia arriba) de la "yangnesidad" de los elementos estructurales
          Y los del mismo nivel tienen la misma "yangnesidad".
          Observamos que en realidad obtenemos un resultado "débil" aunque cierto en el sentido afirmativo y más "fuerte" en sentido negativo.
          Afirmativamente no podemos (a nivel lógico apto para la programación en ordenadores) saber si 00 es menor que 10 en cuanto a nivel en digramas y negativamente podemos llegar a saber que x >n y

          Por ejemplo: x = 11 ;      y = 01

                    x | y = 11 | 01 = 11 = x y      entonces x >n y      podemos

pues afirmar que      x >n y

          Así la definición tomada a partir de Wiitala funciona pero "débilmente" - y esto se extiende a todas las estructuras para elementos conectados, que son los únicos a los que puede aplicarse según debe reconocer a continuación el Dr. Schöter al decir:

          "Esto es, si y está por "encima" de x en el diagrama, y una línea puede trazarse desde x hasta y, entonces      x y"

          La definición se restringe pues a elementos conectados y no se puede aplicar a aquellos que resulten de igual nivel pues ellos nunca pueden conectarse.
          Esto nos indica una de las 'patas' de la tautología apuntada anteriormente.
          Además en la afirmación anterior hay una mezcla de nivel humano con el nivel lógico (computacional).
          ¿Cómo apreciaría una computadora que una línea puede ser trazada desde x hasta y?. Y además que y está por "encima" de x ?. ¿Qué sentido tiene en tal caso el afirmar como conclusión que x y ?. Si está por "encima" y de x resulta sin más que x <n y. Queda así resuelta la tautología apuntada, debida a la confusión de niveles (humano y lógico) y a la contradicción de sostener y no sostener al mismo tiempo la conexión entre elementos estructurales del mismo nivel en la red.

    2.2.1- Hacia un ordenamiento completo de los elementos conectados
    en la red de digramas

          Si cambiamos levemente la definición tomada de Wiitala podemos establecer el ordenamiento completo de los elementos conectados directamente por líneas.
          Para ello propongamos la siguiente definición:

          "x <n y      si y solamente si      x | y = y "

          Lo único modificado es la relación de nivel entre x e y. Esa modificación se hace evidente por cuanto, como ya expresamos, los elementos de igual nivel no están conectados.

          Si queremos realizar al respecto un diagrama lógico orientado hacia la programación en ordenadores y teniendo en cuenta que las preguntas se representan dentro de rombos y las afirmaciones en el interior de rectángulos tendríamos:


          Supongamos que entran aleatoriamente los elementos x e y sabiendo que no tendremos el par 10 y 01 ni el par 11 y 00 pues no están conectados.
          Estudiemos que ocurre con los distintos pares posibles al pasar por el diagrama de flujo:

          x = 11 ; y = 10      x | y = 11 | 10 = 11 = x ≠ y      x >n y
          x = 10 ; y = 11 x | y = 10 | 11 = 11 = y x <n y
          x = 11 ; y = 01 x | y = 11 | 01 = 11 ≠ y x >n y
          x = 01 ; y = 11 x | y = 01 | 11 = 11 = y x <n y
          x = 10 ; y = 00 x | y = 10 | 00 = 10 ≠ y x >n y
          x = 00 ; y = 10 x | y = 00 | 10 = 10 = y x <n y
          x = 01 ; y = 00 x | y = 01 | 00 = 01 ≠ y x >n y
          x = 00 ; y = 01 x | y = 00 | 01 = 01 = y x <n y


          Vemos que la lógica implicada funciona correctamente.

          Pasemos ahora a ver lo que sucede con la red de trigramas.

    2.2.2- Hacia un ordenamiento completo de los elementos conectados en las estructuras de trigramas

          Nos basaremos aquí en la figura número 2, que por comodidad reproducimos nuevamente a continuación.


          Vemos aquí que, como en el caso anterior, los elementos del mismo nivel no están conectados por líneas y que los elementos conectados directamente por líneas están en niveles consecutivos.
          Los pares conectados, en su doble sentido son 24:

111    110                  110    111
111 101 101 111
111 011 011 111
110 100 100 110
110 010 010 110
101 100 100 101
101 001 001 101
011 010 010 011
011 001 001 011
100 000 000 100
010 000 000 010
001 000 000 001

 

          Podemos observar que el aumento de 'yangnesidad' está relacionado en los niveles 1, 2 y 3 ('yangnesidad' 1, 2 y 3 respectivamente) por la operación lógica unión (OR) de los elementos conectados a ese elemento de mayor 'yangnesidad' (y no conectados entre sí).
          Por ejemplo:

100 | 010 = 110
100 | 001 = 101
010 | 001 = 011
110 | 101 = 111
110 | 011 = 111
101 | 011 = 111

          También para los niveles 0, 1 y 2 podemos ver que el operador lógico intersección (AND) marca la disminución de 'yangnesidad'

110 & 101 = 100
101 & 011 = 001
110 & 011 = 010
100 & 010 = 000
100 & 001 = 000
010 & 001 = 000

          Veamos como funciona acá la definición:

                "x <n y          si y solamente si      x | y = y"

          x = 111 ; y = 110          x | y = 111 | 110 = 111 ≠ y, luego x >n y
          x = 110 ; y = 111          x | y = 110 | 111 = 111 = y, luego x <n y

          x = 111 ; y = 101          x | y = 111 | 101 = 111 ≠ y, luego x >n y
          x = 101 ; y = 111          x | y = 101 | 111 = 111 = y, luego x <n y

          x = 111 ; y = 011          x | y = 111 | 011 = 111 ≠ y, luego x >n y
          x = 011 ; y = 111          x | y = 011 | 111 = 111 = y, luego x <n y

          x = 110 ; y = 100          x | y = 110 | 100 = 110 ≠ y, luego x >n y
          x = 100 ; y = 110          x | y = 100 | 110 = 110 = y, luego x <n y

          x = 110 ; y = 010          x | y = 110 | 010 = 110 ≠ y, luego x >n y
          x = 010 ; y = 110          x | y = 010 | 110 = 110 = y, luego x <n y

          x = 101 ; y = 100          x | y = 101 | 100 = 101 ≠ y, luego x >n y
          x = 100 ; y = 101          x | y = 100 | 101 = 101 = y, luego x <n y

          x = 101 ; y = 001          x | y = 101 | 001 = 101 ≠ y, luego x >n y
          x = 001 ; y = 101          x | y = 001 | 101 = 101 = y, luego x <n y

          x = 011 ; y = 010          x | y = 011 | 010 = 011 ≠ y, luego x >n y
          x = 010 ; y = 011          x | y = 010 | 011 = 011 = y, luego x <n y

          x = 011 ; y = 001          x | y = 011 | 001 = 011 ≠ y, luego x >n y
          x = 001 ; y = 011          x | y = 001 | 011 = 011 = y, luego x <n y

          x = 100 ; y = 000          x | y = 100 | 000 = 100 ≠ y, luego x >n y
          x = 000 ; y = 100          x | y = 000 | 100 = 100 = y, luego x <n y

          x = 010 ; y = 000          x | y = 010 | 000 = 010 ≠ y, luego x >n y
          x = 000 ; y = 010          x | y = 000 | 010 = 010 = y, luego x <n y

          x = 001 ; y = 000          x | y = 001 | 000 = 001 ≠ y, luego x >n y
          x = 000 ; y = 001          x | y = 000 | 001 = 001 = y, luego x <n y

          La definición funciona bien también para trigramas proporcionando un orden completo para los elementos conectados directamente por líneas (niveles consecutivos).

          Entonces también para trigramas podemos dar el diagrama de flujo, que resulta idéntico al del caso de digramas:



          2.2.3- Invariancia de la relación de conectividad

          Antes de proseguir con el estudio de la red que corresponde al caso de hexagramas completemos lo visto hasta ahora planteándonos la siguiente cuestión:
          En el caso de trigramas ¿porqué en la red el orden de conexiones es el dado?, ¿podría ser de otro modo este orden?.

          Reproduzcamos nuevamente la red de trigramas:



          ¿Puede ser que en el nivel 1 (100; 010; 001) el orden fuera distinto?

          Por ejemplo:



          En principio no habría ningún inconveniente para ello.

          Pero en tal caso ¿como sería el nivel 2?

          La clave para esta última pregunta la daría lo ya visto sobre el operador lógico unión (OR) aplicado a los elementos del primer nivel para obtener los elementos del segundo nivel.
          Así sería:

010 | 100 = 110
010 | 001 = 011
100 | 001 = 101

          y entonces el segundo nivel quedaría:



          Vemos que hay una invariancia en la relación de conectividad aunque cambiemos el orden en un nivel como hicimos con el nivel 1.
          De la misma forma si cambiamos el orden en el nivel dos y tratamos de ver las correspondencias conectivas con el nivel uno hallaremos la misma invariancia, sólo que ahora expresada a través del operador lógico intersección (AND).



011 & 110 = 010
011 & 101 = 001
110 & 101 = 100


          Entonces esta invariancia entre niveles consecutivos queda expresada por la operación lógica unión (OR) en el sentido ascendente y por la operación lógica intersección (AND) en el sentido descendente, aplicados a elementos del mismo nivel. Cada dos elementos del mismo nivel generan uno del nivel consecutivo. Esto se extiende al caso en que los elementos estructurales sean hexagramas, la diferencia reside en que la generación en el caso de trigramas es única, en tanto que ello no sucede en el caso de hexagramas, como veremos más adelante.

    2.2.4- Bases para el análisis del caso en que los elementos estructurales de la red sean hexagramas

          Antes de encarar el caso mencionado, cuya representación diagramática pasa a ser mucho más complicada que las vistas hasta ahora (digramas y trigramas), resulta útil el cálculo de cuantos elementos corresponden a cada nivel. Vamos a trabajar primero con los casos ya vistos de digramas y trigramas para ir tomándole "la mano" al método y estar en condiciones de extenderlo luego al caso de conectividad y secuencias en hexagramas, ya sin el soporte de la representación diagramática de la red.
          Es un cálculo combinatorio.
          En digramas cada elemento tiene dos posiciones y tenemos tres niveles:



          Los niveles los empezamos a contar desde 0, para hacerlos corresponder con la "yangnesidad" de los mismos.

          Así:              00 está en el nivel 0
                              01 y 10 están en el nivel 1
                              11 está en el nivel 2

          En trigramas cada elemento tiene tres posiciones y hay cuatro niveles.
                    000 está en el nivel 0
                    001; 010 y 011 están en el nivel 1
                    110; 101 y 011 están en el nivel 2
                    111 está en el nivel 3



          Avancemos primero con el caso de trigramas.

          El número de elementos de un nivel en trigramas corresponde a la formulación de la siguiente pregunta:

          ¿De cuántas formas diferentes podemos colocar en tres posiciones un número n de líneas yang? (n coincide con el número de nivel)

          Esta pregunta, generalizada a m posiciones (m, por ejemplo, puede ser 6 y entonces tenemos el caso de una red de hexagramas) sería la siguiente:

          ¿De cuántas formas diferentes podemos colocar en m posiciones un número n de líneas yang?

          Esto se responde a través del análisis combinatorio con una fórmula que resuelta proporciona el llamado número combinatorio.
          La nomenclatura que se utiliza es:

Cm, n

          que indica las combinaciones de m elementos tomados en grupos de n.
          m sería aquí la cantidad de posiciones de un elemento de la estructura y n la "yangnesidad" o el nivel que se está considerando.
          La relación general resulta:

Cm, n = m ! / n ! (m - n) !           fórmula n° 1

          La operación matemática indicada por el signo de admiración ( ! ) se denomina: 'factorial'
          ¿Qué es el factorial de m: m ! ?

          m ! = m (m - 1) (m - 2) (m - 3) ... x 3 x 2 x 1           fórmula n° 2

          O sea es el producto de m factores, siendo los mismos: el primero m, el segundo (m - 1), y así cada uno subsiguiente es el anterior disminuído en una unidad hasta llegar al número 1.
          Entonces:          3 ! = 3 x 2 x 1 = 6
                                  6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

          En el caso de trigramas en el primer nivel, aplicando la fórmula n° 1 tendremos:
                    C3, 1 = 3 ! / 1 ! (3 - 1) ! = 3 x 2 x 1 / 1 x 2 x 1 = 3

          dado que 1 ! = 1 y que (3 - 1) ! = 2 ! = 2 x 1

          Esto indica que en el nivel 1 tenemos tres trigramas.
          Si quisiéramos saber cuantos trigramas hay en el nivel 2 (sin obtenerlo del diagrama, o sea obtenerlo analíticamente):

                    C3, 2 = 3 ! / 2 ! (3 - 2) ! = 3 x 2 x 1 / 2 x 1 x 1 = 3

          En el nivel 2, que es el de "yangnesidad" 2, o sea en el que cada elemento tiene dos líneas yang, tenemos también 3 elementos.

          Antes de aplicar la fórmula en los niveles 0 y 3 completemos la definición de factorial de un número m.

          Como vimos antes      m ! = m (m - 1) (m - 2) ... x 3 x 2 x 1

          Si observamos la anterior vemos que desde el segundo factor hasta el último tenemos:

                    (m - 1) (m - 2) ... x 3 x 2 x 1

          pero esta es precisamente la definición de factorial de (m - 1):

                    (m - 1) !

          Entonces podemos escribir: m ! = m (m - 1) !

          Si damos a m el valor 3, por ejemplo, tendríamos:

                    3 ! = 3 x 2 !

          Si seguimos buscando el factorial en números menores a 3 tendremos:

                    2 ! = 2 x 1 !

                    1 ! = 1 x 0 !

          Esta última es necesaria para que el sistema sea coherente.
          De modo que existe 0 ! y su valor se deduce de la última expresión:

          Si         1 ! = 1 x 0 !         será         0 ! = 1 ! / 1 = 1

          Entonces 0 ! = 1 es lo que nos faltaba para completar la definición de factorial de un número.
          Este agregado nos permite trabajar con los niveles de "yangnesidad" cero y "yangnesidad" tres.
          Así será: C3, 0 = 3 ! / 0 ! (3 - 0) ! = 3 ! / 0 ! 3 ! = 1 / 0 ! = 1 / 1 = 1

          En el nivel cero tenemos un solo trigrama de "yangnesidad" cero, este es pues 000.
          En el nivel tres tendremos:
                    C3, 3 = 3 ! / 3 ! (3 - 3) ! = 3 ! / 3 ! 0 ! = 1 / 0 ! = 1 / 1 = 1

          quiere decir que también encontramos un solo trigrama de "yangnesidad" tres: 111

          Si aplicamos la fórmula n° 1 al caso de digramas, en el que tenemos los niveles cero, uno y dos, obtendremos:

          Nivel 0      C2, 0 = 2 ! / 0 ! (2 - 0) ! = 2 ! / 0 ! 2 ! = 1

          Un elemento de "yangnesidad" cero: 00

          Nivel 1      C2, 1 = 2 ! / 1 ! (2 - 1) ! = 2 ! / 1 ! 1 ! = 2

          Dos elementos de "yangnesidad" uno: 01 y 10

          Nivel 2      C2, 2 = 2 ! / 2 ! (2 - 2) ! = 2 ! / 2 ! 0 ! = 1

          Un elemento de "yangnesidad" dos: 11

          Esta distribución de elementos por nivel se puede apreciar también a través de la construcción denominada "Triángulo de Tartaglia". Dicha construcción fue producida por el matemático italiano conocido como "Tartaglia", su nombre real era Niccoló Fontana. Vivió entre los años 1500 y 1557 aproximadamente y fue famoso entre otras cosas por la polémica que sostuvo con Cardano, otro gran matemático, a propósito de la resolución de la ecuación de tercer grado.
          La anécdota que circula acerca del nombre-apodo que se le dio, y que en definitiva es por el que se lo conoce actualmente, es que en un combate en el que participó recibió una herida por la que luego de reponerse quedó afectado por una tartamudez de la que no logró recuperarse.
          Este "Triángulo de Tartaglia" es numérico y se construye de la siguiente forma:
          En el primer nivel va un uno, en el segundo dos unos:

          A partir de aquí en los distintos niveles siguen apareciendo los dos unos en los extremos y en los lugares intermedios se coloca la suma de los dos números que están en el nivel anterior y rodeando a la posición que se está calculando.


          Vemos que el nivel dos de este triángulo numérico corresponde a la red de digramas en cantidad de elementos por nivel de "yangnesidad":

1              2              1


          Lo mismo para el nivel 3 del triángulo numérico que corresponde al diagrama de la red de trigramas en cantidad de elementos por nivel de "yangnesidad":

1              3              3              1

          Y así sucesivamente para cada nivel, que entonces representa la cantidad de elementos de la estructura en dicho nivel.

          Además, si en el "Triángulo de Tartaglia" buscamos separar diagonalmente los números como se aprecia en la figura siguiente, ello nos llevará a establecer la cantidad de líneas de tipo yang (la "yangnesidad" que encontramos en cada elemento de la estructura).
          Para evitar la posible confusión entre las separaciones horizontales y las diagonales, a partir de este momento llamaremos a las horizontales 'dimensiones', en tanto seguiremos hablando de 'niveles' para las diagonales. En ambos casos comenzaremos a contar desde cero.
          Entonces, por ejemplo, 'dimensión' 3 indica una estructura de trigramas, en la que en el 'nivel' 1 encontramos tres elementos de "yangnesidad" 1 (número 3 circulado en rojo en la figura siguiente).
          Y, en la 'dimensión' 5, 'nivel' 3 encontramos 10 elementos de "yangnesidad" 3 (número 10 circulado en rojo).

          En realidad lo que se está viendo es que este triángulo numérico está compuesto por números combinatorios.
          Así, por ejemplo, en el nivel 2 de la dimensión 4 la cantidad de elementos estructurales es:

          C4, 2 = 4 ! / 2 ! (4 - 2) ! = 4 ! / 2 ! 2 ! = 4 x 3 x 2 ! / 2 ! x 2 ! = 6

          como también se aprecia en la figura anterior, y la "yangnesidad" - dada por la numeración de nivel - es 2. Esta sería una estructura de tetragramas.
          En el tercer nivel de la dimensión 5 tendríamos:

          C5, 3 = 5 ! / 3 ! (5 - 3) ! = 5 x 4 x 3 ! / 3 ! x 2 ! = 5 x 4 / 2 x 1 = 10

          O sea 10 elementos de "yangnesidad" 3.

          También podemos observar en este triángulo que si sumamos todos los números de una 'dimensión', o sea de una fila horizontal, obtenemos la potencia de base 2 con exponente igual al número 'dimensional'.
          Así, en la dimensión 3, por ejemplo, la suma sería:

                    1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

          En la dimensión 5, la suma sería:

                    1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25

          etc., etc.

          Recordemos entonces que 'dimensión' está ligado a la estructura que se trata- digramas, trigramas, hexagramas, etc.-, además el nivel da la "yangnesidad" de los elementos estructurales que pertenecen a ese nivel y dimensión y nivel determinan la cantidad de elementos estructurales cuya "yangnesidad" estaba determinada por el nivel.
          En la continuación de este artículo nos enfocaremos en el estudio de la estructura en red que corresponde a los hexagramas, aplicando los conceptos vistos anteriormente.

          (Continuará)



Autor: Ing. Raúl Jurovietzky

 

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Raśl Jurovietzky
Ingeniero
E-Mail: rauljuro@saiching.org




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