De acuerdo a lo que expresara en un artículo anterior ¹, al considerar los objetivos de los estudios del Dr. Andreas Schöter ² y el trabajo conjunto del mismo con Stephen Karcher ³, en este artículo se tratarán los elementos matemáticos que están en la base de dichos trabajos.
       Entre las diversas notaciones usuales seguiremos en este artículo las propuestas por el Dr. Andreas Schöter.
       Los temas a enfocar inicialmente son:

• 1- Sistemas Numéricos.
  • 1.1- Numeración decimal y numeración binaria.
    1.1- Reglas de correspondencia entre sistemas.
    1.1- Relación con la estructura de los hexagramas.
  • 1.2- Shao Yung (Shao Yong) y Leibniz.
• 2- Álgebra Booleana.
  • 2.1- Operaciones Lógicas.
    • 2.1.1- Operaciones Combinatorias.
    • 2.1.2- Ordenamientos.

       El punto 2.1.2 será tratado en la segunda parte de esta serie.

• 1- Sistemas Numéricos
• 1.1- Numeración decimal y numeración binaria.
  1.1- Reglas de correspondencia entre sistemas.
  1.1- Relación con la estructura de los hexagramas.

       ¿Qué es la numeración binaria?
       Es un sistema de numeración que consta de solamente dos dígitos, el 0 y el 1, a diferencia del sistema decimal de numeración que utiliza diez dígitos: 0, 1, 2,..., 9.
       En los hexagramas o trigramas del I Ching, sin tener en cuenta por ahora el tema de los rasgos móviles, también tenemos dos posibilidades para cada línea: o esta es yang o es yin.
       Así es común describir un hexagrama por la sucesión de ceros y unos en un orden dado. Se acostumbra escribir de izquierda a derecha los seis números binarios correspondientes a un hexagrama dado, colocando en la posición inicial izquierda la línea de abajo del hexagrama dado y con la clave: yang = 1, yin = 0.
       Por ejemplo, sea el hexagrama 29 de la notación usual (no de la sucesión binaria) K'an/ Lo Abismal, El Agua.

             
       En lo anterior se ha hecho referencia a la notación usual con la aclaración: "no de la sucesión binaria", por existir otra secuencia de numeración de los hexagramas que utiliza esta numeración binaria.
       Veamos como ejemplo como numeraríamos este mismo hexagrama en secuencia binaria.
       Para ello hay una clave que usualmente comienza desde el tope del hexagrama.
       Destaquemos en la próxima figura las posiciones de las líneas del hexagrama mediante rectángulos que obran a manera de 'cajas' contenedoras de las líneas yin o yang.

             

       Como decíamos antes, la 'caja' 1 está al tope del hexagrama.
       Cada 'caja' tiene un 'valor' y la clave de este es:

       'Caja'                1        2        3        4        5          6

       'Valor'               1        2        4        8        16        32

       Estos 'valores' se multiplicaran por los 'contenidos' de las 'cajas'.
       Los 'contenidos' pueden ser líneas yin o yang que, como ya vimos, en sistema binario son 0 y 1 respectivamente.
       Una vez que tenemos el número que corresponde a cada 'caja' los sumamos y así obtenemos el número que corresponde a la secuencia binaria del hexagrama (leído en numeración decimal).
       Veamos como ejemplo el hexagrama 29:



       Así tenemos que al hexagrama 29 de la secuencia usual, en secuencia binaria (leída en decimal) le corresponde el hexagrama 18.
       Agreguemos como ejemplos los hexagramas 1 y 2 de la numeración usual:



       Entonces al hexagrama número 2 de la secuencia usual (orden del Rey Wen) le corresponde el número 0 de la secuencia binaria (o 'natural') y al hexagrama 1 de la secuencia usual le corresponde el número 63 de la secuencia binaria.
       Se puede confeccionar un cuadro que contemple las dos secuencias al mismo tiempo:



       En este cuadro el primer número de los dos indicados corresponde a la numeración tradicional (orden del Rey Wen), mientras que el segundo número es posicional y al mismo tiempo corresponde a la secuencia binaria leída en decimal. Se comienzan a contar desde el número cero las posiciones.
       Por ejemplo, al hexagrama 51- Chen/ Lo Suscitativo (La Conmoción, EL Trueno)


0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 4 + 0 x 8 + 0 x 16 + 1 x 32 = 36

       Es decir en la notación de la tabla 1 sería: 51/36 y esto es lo que encontramos en la tabla.
       El cuadro presentado puesto en forma también cuadrangular pero en lugar de los números directamente con los hexagramas ordenados en secuencia binaria, resulta no ser algo original puesto que tiene ya una antigüedad cercana a los mil años. Fue confeccionado por uno de los grandes maestros del confucianismo del período Sung, Shao Yung, que vivió entre los años 1011 y 1077.
       Nos dice sobre él Hellmuth Wilhelm ^4:

       "... era un genio especulativo, cuyas deducciones filosóficas, realizadas a partir de los conceptos fundamentales del I Ching son tan concisas y cargadas de significado, que seguirlas produce una satisfacción de los sentidos y al mismo tiempo son de tal alcance que llegan a todos los rincones del mundo. Su precisión matemática lo llevó a elaborar otra tabla del I Ching, en la cual ordena los hexagramas en un sistema natural."

       "Finalmente, el ordenamiento puede asumir la forma de un círculo; una de las mitades fue separada e invertida para armonizarla con un ordenamiento más antiguo, conocido como la Secuencia del Cielo Anterior"

                            Figura Nº 5

       "Este cielo anterior no significa algo más antiguo en el tiempo, sino que se refiere al mundo trascendente de las ideas, y por ende a un sistema apriorístico."

       1.2- Shao Yung (Shao Yong) y Leibniz
Sigue diciendo H. Wilhelm:
       "Este esquema ha llevado a uno de los episodios más notables en la historia del espíritu humano, que hasta el presente no ha sido nunca aclarado en forma satisfactoria. Más de seiscientos años después de su surgimiento, el diagrama de Shao llegó a las manos de Leibniz ⁵, y eso le permitió volver a encontrar un sistema que había surgido anteriormente de su propio genio matemático. Para facilitar la solución de determinados problemas matemáticos, Leibniz había elaborado un sistema numérico llamado binario o diádico, que no utiliza los diez números habituales del sistema decimal, sino tan sólo dos, siguiendo en lo demás los mismos principios.
       Los dos números son 0 y 1, por lo cual el 1 es el primero y el 0 es el segundo. 1 es el 1 del sistema decimal, 10 el 2, 11 el 3, 100 el 4, 101 el 5, 110 el 6, 111 el 7 y así sucesivamente".

       En lo anterior indicado por Wilhelm se encuentra en general una regla para pasar números de un sistema binario al sistema decimal.
       De alguna manera lo expusimos ya en la figura 3.
       Así como en el sistema decimal cada dígito, por su posición, tiene un significado distinto. Pongamos un ejemplo en numeración decimal:
       Sea

(543)₁₀ = 5 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1

       La posición hace avanzar en un factor 10 porque esta es la base del sistema decimal.
       Ahora veamos lo mismo en un sistema binario:

(1 0 1)₂ = 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 4 + 0 + 1 = (5)₁₀

La base en este sistema es 2

       En el ejemplo de la figura 1 y yendo, en la escritura, de abajo hacia arriba tenemos que el hexagrama 29 se escribía en binario: 010010 y se podía pasar al sistema decimal como:

       y así resulta:

       (010010)₂ = 0 x 32 + 1 x 16 + 0 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = (18)₁₀

       que era lo expresado en la figura 3.
       De igual forma existe un método para pasar del sistema de numeración decimal al sistema de numeración binario.
       Se basa en los restos de la división sucesiva del número decimal por el divisor 2. Los cocientes sucesivos se siguen dividiendo y el último cociente será el dígito binario de la izquierda siguiéndole los restos sucesivos hasta el inicial. Como en un hexagrama, por ejemplo, puede haber ceros a la izquierda (trazos yin), a diferencia de lo matemático se sigue dividiendo hasta completar los seis rasgos o, lo que resulta en lo mismo, luego que el cociente último es menor que dos se completan los seis trazos con ceros a la izquierda.
       Como ejemplo, veamos el paso del número decimal 18 al sistema binario:

      
       En el orden del Rey Wen (usual) correspondería al hexagrama 29.

       Veamos ahora otros ejemplos para tomarle la mano al método.
       Sea el hexagrama 63 de la secuencia binaria (leído en decimal):

      

       Esto indicaría además que la posición 63 en la tabla n° 1 correspondería al hexagrama 01 en la secuencia usual (orden del Rey Wen).
       Ahora tomemos el hexagrama 46 de la secuencia binaria (leído en decimal):

      
       Que es el hexagrama 49 de la secuencia usual, entonces la posición 46 de la tabla n° 1 corresponde al hexagrama 49 en el orden del Rey Wen.

       De la misma forma podemos trabajar sobre la posición 26 de la tabla n° 1. 0 sea el número 26 en binario leído en decimal.
       Esta vez ejemplificaremos con la modalidad de detener la división al tener un cociente menor que el divisor 2 y luego completamos los rasgos añadiendo a izquierda tantos ceros como dígitos falten para completar los seis correspondientes a una estructura de hexagrama.

       Tomemos ahora una posición de las del comienzo de la tabla, por ejemplo la número 2.

             
       Tenemos 2 dígitos: '10' debemos completar entonces con cuatro ceros a la izquierda y obtenemos: 000010
       Resultó así que:

      
       éste corresponde al hexagrama n° 08 de la secuencia usual.

       Luego de los anteriores ejemplos estamos en condiciones de proseguir con el texto de H. Wilhelm:

       "El 1111 del sistema binario es nuestro 15, el 11111 nuestro 31, el 111111 nuestro 63"

       De acuerdo a lo visto antes cuando se pone 1111 y nos referimos a los hexagramas, debemos leer 001111, y para obtener la lectura en decimal o sea hallar el número de hexagrama que corresponde en el orden del Rey Wen, debemos realizar el siguiente cálculo:

       0 x 2⁵ + 0 x 2⁴ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = (15)₁₀

       De la misma forma si tenemos 11111 hace falta completar con un cero a izquierda y así el hexagrama correspondiente en el orden usual se calcula a partir de 011111 como:

       0 x 2⁵ + 1 x 2⁴ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = (31)₁₀

       A continuación H. Wilhelm nos dice:

"En la Secuencia del Cielo Anterior Leibniz redescubrió su propio sistema diádico, aunque él debía anteponer indudablemente el cero. Tomó una línea dividida como un 0, y una línea entera como un 1... . De este modo la serie de Shao Yung correspondía punto por punto con el sistema binario de Leibniz, desde el primero hasta el último hexagrama, Ch'ien que para Leibniz era 111111, o sea 63. La única diferencia es que esta correspondencia no es directa sino invertida, es decir que para obtenerla se debe comenzar desde el final, lo cual sirve para hacer claro una vez más el paralelismo de los fenómenos culturales en el Oeste y en el Este, que se enfrentan el uno al otro como imágenes en un espejo. Sin embargo, la correspondencia a la cual llegaron estas dos grandes mentes en forma independiente y partiendo cada uno de una base completamente diferente, es un fenómeno verdaderamente asombroso. El número para Leibniz y el hexagrama para Shao Yung, constituían la puerta de acceso a los problemas que se les planteaban. Y el medio intelectual con el cual estos dos espíritus afines enfrentaron sus tareas asumió la misma forma en ambos. Durante mucho tiempo, Leibniz había estado tratando de poner de manifiesto verdades espirituales en términos matemáticos, para hacerlas, según creía, indiscutibles. Se puede comprender el entusiasmo con el cual recibió el descubrimiento de esta correspondencia."

• 2- Álgebra Booleana
• 2.1- Operaciones Lógicas

       Vamos ahora a considerar las operaciones lógicas que podemos realizar en el sistema de numeración binaria dado que ellas están relacionadas con las operaciones aplicables a los hexagramas.
       Tenemos dos tipos de operaciones:

       1- Operaciones Combinatorias.
       2- Ordenamientos

       Las operaciones combinatorias tienen que ver con como las situaciones representadas como hexagramas pueden combinarse y los ordenamientos definen las secuencias en las cuales los hexagramas pueden ser ordenados.
       Veamos las primeras.

• 2.1.1- Operaciones Combinatorias

       Operador Complemento

       Esta es una operación unaria en el sentido de aplicarse a un solo elemento (sea éste una línea, un trigrama o un hexagrama) para generar otro elemento.
       Su nombre lógico es: NOT
       En una lógica de dos elementos es como negar a uno de ellos para obtener el otro.
       Si, en general, llamamos al elemento que va a ser sometido a esta operación como x, NOT x será el otro elemento, resultado de la complementación.

       Hay varias notaciones posibles utilizadas para los operadores lógicos de acuerdo a su ámbito de aplicación.

       Veamos algunas de ellas, incluyendo la que utiliza el Dr. Andreas Schöter en sus desarrollos. Esta última es, como ya dijimos, la que utilizaremos para la discusión de los mismos.

      

       Los cuadros que corresponden al operador de complemento para un elemento simple (0 ó 1 - yin o yang) son:

       Si en lugar de un elemento simple, tenemos una estructura, como por ejemplo un hexagrama se aplica esta tabla línea por línea.
       Así el complemento de 100110 será 011001 y el complemento del hexagrama 35- El Progreso


       o sea el hexagrama 48- El Pozo de Agua, que según H. Wilhelm obra a modo de opuesto complementario, una especie de 'negativo' del anterior, por ello es denominado a veces como el hexagrama 'espectral'.
       Si aplicamos el operador de complemento a un trigrama, como por ejemplo, Agua

      

       En forma similar si lo aplicamos a Lo Suscitativo, El Trueno

      

       ~ 010 = 101               y              ~ 100 = 011

       Estas transformaciones son parte de los apareamientos de los trigramas en la Secuencia del Cielo Previo o secuencia premundana ⁶.

       "Cielo y Tierra determinan la dirección. La Montaña y el Lago mantienen la unión de sus fuerzas. El Trueno y el Viento se excitan mutuamente. El Agua y el Fuego no se combaten entre sí. Así se sitúan, entreveradamente, los ocho signos."

       Operador Unión

       Este operador combinatorio es binario, en el sentido de que surge un nuevo elemento al combinar dos elementos.
       Por ejemplo, podemos combinar dos hexagramas para obtener un tercero.
       Su nombre lógico es OR (o inclusivo).
       Veamos algunas de las notaciones en uso al respecto:

      

       En esta operación el resultado es 1 cuando x ó y (o ambos) son 1. El resultado será 0 cuando ambos x e y sean 0.
       Ello se resume en la siguiente tabla:

             

       O, en el lenguaje de las líneas de una estructura del I Ching:
             

       La extensión a una estructura con varias líneas se hace como antes línea por línea.
       Por ejemplo, el resultado de combinar por unión dos trigramas como Agua y Fuego:
                     Agua   010
                     Fuego 101       es       010 | 101 = 111

       El trigrama resultante puede verse como el resultado de unir las energías yang de ambos trigramas.

       Operador Intersección

       Este también es un operador binario en el sentido ya comentado de aplicarse a dos elementos para la obtención de un tercero.
Su nombre lógico es AND.
       Es un operador de 'coincidencia', en el sentido de que si ambos elementos son yang (ó 1) el resultado será yang (ó 1), de otra manera será yin (ó 0).
Algunas de las notaciones en uso son:
      

      

       O en el lenguaje de las líneas de una estructura del I Ching:

      
       Como para las operaciones anteriores se extiende a las estructuras tomándolas línea por línea.
       Por ejemplo, si combinamos a través de este operador de coincidencia las energías de Lo Sereno/El Lago con las de Lo Suave/El Viento obtendremos:

      
       Hay energía yang resultante cuando hay coincidencia de energía yang en ambos elementos, en la misma posición estructural.
       Así como las operaciones de complemento y unión se consideran básicas estas de intersección no lo son, en el sentido de poderse obtener mediante una serie de operaciones de complemento y unión.
       Se dice que la intersección no es independiente (en tanto se han considerado independientes el complemento y la unión).

       Resultaría así: x & y = ~(~x | ~y)
       Comprobémoslo a través de un ejemplo:

       Si  x = 110   e   y = 011 resultaría  ~x = 001 ; ~y = 100; ~x | ~y = 101
       Y finalmente   ~(~x | ~y) = 010   que era el valor obtenido con anterioridad.

       Operador OR Exclusivo (XOR)

       Es también un operador binario, en el sentido expresado para el OR y el AND.
       Su nombre lógico es XOR.
       Algunas de sus notaciones en uso son:

       Podemos expresar la diferencia x - y como:

       x - y = x & (~y) = ~[ ~x | ~(~y)]

       y como la negación de la negación es una afirmación: ~(~y) = y

       x - y = ~(~x | y)

       La tabla de x - y es:

             

       La tabla que corresponde a ~(~x | y) sería:       



       El resultado es idéntico verificando así la corrección de la expresión anterior:
              x - y = ~(~x | y)

       Es más usual verla en función de la intersección como ya se expresó:

                     x - y = x & (~y)

       Este operador diferencia es no conmutativo, los anteriores (unión e intersección) si lo son, es decir:
       x | y = y | x ; x & y = y & x

       en cambio: x - y ≠ y - x

       como podemos verificar al construir la tabla y comparar las columnas de resultado para x - y = x & (~y) y para y - x = y & (~x)

             

       Vemos que las dos últimas columnas difieren, por lo tanto:

                            x - y ≠ y - x

       Lo que denominamos diferencia simétrica o sea el operador XOR es la unión de estas dos diferencias:

                            x ^ y = (x - y) | (y - x) o sea:

                            x ^ y = [x & (~y)] | [y & (~x)]

       En forma tabular el proceso, paso a paso, sería:

      

       Este operador diferencia simétrica no es independiente en el sentido ya visto, y es un operador conmutativo:
x ^ y = y ^ x

       de allí que agreguemos la palabra simétrica para diferenciarlo de una diferencia simple (no conmutativa).
       A modo de ejemplo para su aplicación a un par de hexagramas, tomemos el hexagrama 29- Lo Abismal, El Agua y el hexagrama 34- El Poder de lo Grande:

             
       La expresión binaria para estos hexagramas es:

       Hexagrama 29:   010010
       Hexagrama 34:   111100

       Aplicando el operador XOR (diferencia simétrica) línea a línea, como ya vimos, obtenemos:

      
       Como resumen a todo lo visto hasta ahora sobre operadores combinatorios agreguemos un par de tablas:

(Continuará)

Notas y Referencias

(1)- ¿Cómo enfrentar el problema de una respuesta del I Ching con muchas líneas móviles? (tercera y cuarta parte).
(2)- "Teoría de Redes Booleanas aplicadas al I Ching".
(3)- "Tools for Change".
(4)- "Mutaciones, Ocho Lecciones sobre el I Ching".
(5)- "Leibniz Gottfried W. (1646-1716). Filósofo y matemático alemán. Con independencia de Newton inventó el cálculo infinitesimal y realizó contribuciones importantes a la teoría dinámica del movimiento. Se le deben aportaciones de gran originalidad al campo de la lógica, destacando su tentativa de creación de un lenguaje universal que pudiera convertirse en instrumento de descubrimiento, a este proyecto estaba asociada la idea de una enciclopedia que abarcase todo el saber humano. Partidario del atomismo, introdujo su teoría de las mónadas (átomos espirituales) para obviar las paradojas del continuo físico, y definió espacio y tiempo como relaciones, en lugar de sustancias". (Gran Diccionario Salvat)
(6)- Richard Wilhelm. "I Ching, el Libro de las Mutaciones", Ed. Edhasa, undécima reimpresión, 1990, pág. 353.

Autor: Ing. Raúl Jurovietzky