De acuerdo a lo que expresara
en un artículo anterior 1, al considerar
los objetivos de los estudios del Dr. Andreas Schöter 2
y el trabajo conjunto del mismo con Stephen Karcher 3,
en este artículo se tratarán los elementos matemáticos
que están en la base de dichos trabajos.
Entre las diversas notaciones usuales seguiremos
en este artículo las propuestas por el Dr. Andreas Schöter.
Los temas a enfocar inicialmente son:
- 1- Sistemas Numéricos.
- 1.1- Numeración decimal y numeración
binaria.
1.1- Reglas de correspondencia
entre sistemas.
1.1- Relación con la estructura
de los hexagramas.
- 1.2- Shao Yung (Shao Yong) y Leibniz.
- 2- Álgebra Booleana.
- 2.1- Operaciones Lógicas.
- 2.1.1- Operaciones Combinatorias.
- 2.1.2- Ordenamientos.
El punto 2.1.2
será tratado en la segunda parte de esta serie.
- 1- Sistemas Numéricos
- 1.1- Numeración decimal y numeración binaria.
1.1- Reglas de correspondencia entre sistemas.
1.1- Relación con la estructura de los hexagramas.
En primer
lugar ¿porqué es posible analizar la estructura de hexagramas
o trigramas del I Ching a través del Álgebra Booleana?
Porque
en ambos lenguajes se utilizan metáforas que corresponden a
la numeración binaria.
¿Qué
es la numeración binaria?
Es un
sistema de numeración que consta de solamente dos dígitos,
el 0 y el 1, a diferencia del sistema decimal de numeración
que utiliza diez dígitos: 0, 1, 2,..., 9.
En los
hexagramas o trigramas del I Ching, sin tener en cuenta por ahora
el tema de los rasgos móviles, también tenemos dos
posibilidades para cada línea: o esta es yang o es
yin.
Así
es común describir un hexagrama por la sucesión de
ceros y unos en un orden dado. Se acostumbra escribir de izquierda
a derecha los seis números binarios correspondientes a un
hexagrama dado, colocando en la posición inicial izquierda
la línea de abajo del hexagrama dado y con la clave: yang
= 1, yin = 0.
Por ejemplo,
sea el hexagrama 29 de la notación usual (no de la sucesión
binaria) K'an/ Lo Abismal, El Agua.

En lo anterior se ha hecho
referencia a la notación usual con la aclaración:
"no de la sucesión binaria", por existir otra secuencia
de numeración de los hexagramas que utiliza esta numeración
binaria.
Veamos como ejemplo como numeraríamos
este mismo hexagrama en secuencia binaria.
Para ello hay una clave que
usualmente comienza desde el tope del hexagrama.
Destaquemos en la próxima
figura las posiciones de las líneas del hexagrama
mediante rectángulos que obran a manera de 'cajas' contenedoras
de las líneas yin o yang.

Como decíamos antes,
la 'caja' 1 está al tope del hexagrama.
Cada 'caja' tiene un 'valor'
y la clave de este es:
'Caja'
1 2
3 4
5 6
'Valor'
1 2
4 8
16 32
Estos 'valores'
se multiplicaran por los 'contenidos' de las 'cajas'.
Los 'contenidos' pueden ser líneas
yin o yang que, como ya vimos, en sistema binario son
0 y 1 respectivamente.
Una vez que tenemos el número
que corresponde a cada 'caja' los sumamos y así obtenemos el
número que corresponde a la secuencia binaria del hexagrama
(leído en numeración decimal).
Veamos como ejemplo el hexagrama
29:

Así tenemos que al hexagrama
29 de la secuencia usual, en secuencia binaria (leída en decimal)
le corresponde el hexagrama 18.
Agreguemos como ejemplos los
hexagramas 1 y 2 de la numeración usual:

Entonces al hexagrama número
2 de la secuencia usual (orden del Rey Wen) le corresponde el número
0 de la secuencia binaria (o 'natural') y al hexagrama 1 de la secuencia
usual le corresponde el número 63 de la secuencia binaria.
Se puede confeccionar un cuadro
que contemple las dos secuencias al mismo tiempo:

En este cuadro el primer número
de los dos indicados corresponde a la numeración tradicional
(orden del Rey Wen), mientras que el segundo número es posicional
y al mismo tiempo corresponde a la secuencia binaria leída
en decimal. Se comienzan a contar desde el número cero las
posiciones.
Por ejemplo, al hexagrama 51-
Chen/ Lo Suscitativo (La Conmoción, EL Trueno)

0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 4 + 0 x 8 + 0 x 16 + 1 x 32 = 36
Es decir en
la notación de la tabla 1 sería: 51/36 y esto es lo
que encontramos en la tabla.
El cuadro presentado puesto
en forma también cuadrangular pero en lugar de los números
directamente con los hexagramas ordenados en secuencia binaria,
resulta no ser algo original puesto que tiene ya una antigüedad
cercana a los mil años. Fue confeccionado por uno de los
grandes maestros del confucianismo del período Sung, Shao
Yung, que vivió entre los años 1011 y 1077.
Nos dice sobre él Hellmuth
Wilhelm 4:
"...
era un genio especulativo, cuyas deducciones filosóficas,
realizadas a partir de los conceptos fundamentales del I Ching son
tan concisas y cargadas de significado, que seguirlas produce una
satisfacción de los sentidos y al mismo tiempo son de tal
alcance que llegan a todos los rincones del mundo. Su precisión
matemática lo llevó a elaborar otra tabla del I Ching,
en la cual ordena los hexagramas en un sistema natural."
El ordenamiento
tabular de forma cuadrada fue completado por Shao Yung con un ordenamiento
circular. Al respecto continúa diciendo Hellmuth Wilhelm:
"Finalmente,
el ordenamiento puede asumir la forma de un círculo; una
de las mitades fue separada e invertida para armonizarla con un
ordenamiento más antiguo, conocido como la Secuencia del
Cielo Anterior"
Figura Nº 5

"Este cielo anterior
no significa algo más antiguo en el tiempo, sino que se
refiere al mundo trascendente de las ideas, y por ende a un sistema
apriorístico."
1.2-
Shao Yung (Shao Yong) y Leibniz
Sigue diciendo H. Wilhelm:
"Este
esquema ha llevado a uno de los episodios más notables
en la historia del espíritu humano, que hasta el presente
no ha sido nunca aclarado en forma satisfactoria. Más de
seiscientos años después de su surgimiento, el diagrama
de Shao llegó a las manos de Leibniz 5, y eso le permitió
volver a encontrar un sistema que había surgido anteriormente
de su propio genio matemático. Para facilitar la solución
de determinados problemas matemáticos, Leibniz había
elaborado un sistema numérico llamado binario o diádico,
que no utiliza los diez números habituales del sistema
decimal, sino tan sólo dos, siguiendo en lo demás
los mismos principios.
Los
dos números son 0 y 1, por lo cual el 1 es el primero y
el 0 es el segundo. 1 es el 1 del sistema decimal, 10 el 2, 11
el 3, 100 el 4, 101 el 5, 110 el 6, 111 el 7 y así sucesivamente".
En lo anterior
indicado por Wilhelm se encuentra en general una regla para pasar
números de un sistema binario al sistema decimal.
De alguna manera lo expusimos
ya en la figura 3.
Así como en el sistema
decimal cada dígito, por su posición, tiene un significado
distinto. Pongamos un ejemplo en numeración decimal:
Sea

(543)10 = 5 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1
La posición
hace avanzar en un factor 10 porque esta es la base del sistema
decimal.
Ahora veamos lo mismo en un
sistema binario:
(1 0 1)2 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 4 + 0 + 1
= (5)10

La base en este sistema es 2
En el ejemplo de la figura
1 y yendo, en la escritura, de abajo hacia arriba tenemos que el
hexagrama 29 se escribía en binario: 010010 y se podía
pasar al sistema decimal como:

y así resulta:
(010010)2 =
0 x 32 + 1 x 16 + 0 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = (18)10
que era lo
expresado en la figura 3.
De igual forma existe un método
para pasar del sistema de numeración decimal al sistema de
numeración binario.
Se basa en los restos de la
división sucesiva del número decimal por el divisor
2. Los cocientes sucesivos se siguen dividiendo y el último
cociente será el dígito binario de la izquierda siguiéndole
los restos sucesivos hasta el inicial. Como en un hexagrama, por
ejemplo, puede haber ceros a la izquierda (trazos yin), a diferencia
de lo matemático se sigue dividiendo hasta completar los
seis rasgos o, lo que resulta en lo mismo, luego que el cociente
último es menor que dos se completan los seis trazos con
ceros a la izquierda.
Como ejemplo, veamos el paso
del número decimal 18 al sistema binario:

En el orden del Rey Wen (usual)
correspondería al hexagrama 29.
Veamos ahora
otros ejemplos para tomarle la mano al método.
Sea el hexagrama 63 de la secuencia
binaria (leído en decimal):

Esto indicaría además
que la posición 63 en la tabla n° 1 correspondería
al hexagrama 01 en la secuencia usual (orden del Rey Wen).
Ahora tomemos el hexagrama
46 de la secuencia binaria (leído en decimal):

Que es el hexagrama 49 de la
secuencia usual, entonces la posición 46 de la tabla n°
1 corresponde al hexagrama 49 en el orden del Rey Wen.
De la
misma forma podemos trabajar sobre la posición 26 de la tabla
n° 1. 0 sea el número 26 en binario leído en decimal.
Esta
vez ejemplificaremos con la modalidad de detener la división
al tener un cociente menor que el divisor 2 y luego completamos
los rasgos añadiendo a izquierda tantos ceros como dígitos
falten para completar los seis correspondientes a una estructura
de hexagrama.

Como tenemos 5 dígitos: 11010 completamos con un cero a la
izquierda y obtenemos: 011010
De tal manera resultó que:

que corresponde al hexagrama
48 del orden del Rey Wen, esto puede verificarse en la tabla n°
1.
Tomemos
ahora una posición de las del comienzo de la tabla, por ejemplo
la número 2.

Tenemos 2 dígitos: '10'
debemos completar entonces con cuatro ceros a la izquierda y obtenemos:
000010
Resultó así que:

éste corresponde al
hexagrama n° 08 de la secuencia usual.
Luego
de los anteriores ejemplos estamos en condiciones de proseguir con
el texto de H. Wilhelm:
"El
1111 del sistema binario es nuestro 15, el 11111 nuestro 31, el
111111 nuestro 63"
De acuerdo
a lo visto antes cuando se pone 1111 y nos referimos a los hexagramas,
debemos leer 001111, y para obtener la lectura en decimal o sea
hallar el número de hexagrama que corresponde en el orden
del Rey Wen, debemos realizar el siguiente cálculo:
0 x
25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = (15)10
De la
misma forma si tenemos 11111 hace falta completar con un cero a
izquierda y así el hexagrama correspondiente en el orden
usual se calcula a partir de 011111 como:
0 x
25 + 1 x 24
+ 1 x 23 + 1 x 22
+ 1 x 21 + 1 x 20
= (31)10
A continuación
H. Wilhelm nos dice:
"En la Secuencia del Cielo Anterior Leibniz redescubrió
su propio sistema diádico, aunque él debía
anteponer indudablemente el cero. Tomó una línea dividida
como un 0, y una línea entera como un 1... . De este modo
la serie de Shao Yung correspondía punto por punto con el
sistema binario de Leibniz, desde el primero hasta el último
hexagrama, Ch'ien que para Leibniz era 111111, o sea 63.
La única diferencia es que esta correspondencia no es directa
sino invertida, es decir que para obtenerla se debe comenzar desde
el final, lo cual sirve para hacer claro una vez más el paralelismo
de los fenómenos culturales en el Oeste y en el Este, que
se enfrentan el uno al otro como imágenes en un espejo. Sin
embargo, la correspondencia a la cual llegaron estas dos grandes
mentes en forma independiente y partiendo cada uno de una base completamente
diferente, es un fenómeno verdaderamente asombroso. El número
para Leibniz y el hexagrama para Shao Yung, constituían la
puerta de acceso a los problemas que se les planteaban. Y el medio
intelectual con el cual estos dos espíritus afines enfrentaron
sus tareas asumió la misma forma en ambos. Durante mucho
tiempo, Leibniz había estado tratando de poner de manifiesto
verdades espirituales en términos matemáticos, para
hacerlas, según creía, indiscutibles. Se puede comprender
el entusiasmo con el cual recibió el descubrimiento de esta
correspondencia."
Vamos
ahora a considerar las operaciones lógicas que podemos realizar
en el sistema de numeración binaria dado que ellas están
relacionadas con las operaciones aplicables a los hexagramas.
Tenemos
dos tipos de operaciones:
1- Operaciones
Combinatorias.
2- Ordenamientos
Las
operaciones combinatorias tienen que ver con como las situaciones
representadas como hexagramas pueden combinarse y los ordenamientos
definen las secuencias en las cuales los hexagramas pueden ser ordenados.
Veamos
las primeras.
- 2.1.1- Operaciones Combinatorias
En primer
lugar digamos que las operaciones pueden aplicarse al mínimo
de información, lo llamado como bit, sea representado
como 0 ó 1 ó como yin o yang, o sea una
línea de un hexagrama, o a un número binario de más
de un dígito o su equivalente como digramas, trigramas o todo
el hexagrama.
Operador
Complemento
Esta
es una operación unaria en el sentido de aplicarse
a un solo elemento (sea éste una línea, un
trigrama o un hexagrama) para generar otro elemento.
Su nombre
lógico es: NOT
En una
lógica de dos elementos es como negar a uno de ellos para
obtener el otro.
Si, en
general, llamamos al elemento que va a ser sometido a esta operación
como x, NOT x será el otro elemento, resultado de la complementación.
Hay
varias notaciones posibles utilizadas para los operadores lógicos
de acuerdo a su ámbito de aplicación.
Veamos
algunas de ellas, incluyendo la que utiliza el Dr. Andreas Schöter
en sus desarrollos. Esta última es, como ya dijimos, la que
utilizaremos para la discusión de los mismos.

Los cuadros que corresponden
al operador de complemento para un elemento simple (0 ó 1
- yin o yang) son:

Si en lugar
de un elemento simple, tenemos una estructura, como por ejemplo
un hexagrama se aplica esta tabla línea por línea.
Así el complemento de
100110 será 011001 y el complemento del hexagrama 35- El
Progreso

o sea el hexagrama 48- El Pozo
de Agua, que según H. Wilhelm obra a modo de opuesto complementario,
una especie de 'negativo' del anterior, por ello es denominado a
veces como el hexagrama 'espectral'.
Si aplicamos el operador de
complemento a un trigrama, como por ejemplo, Agua

En forma similar si lo aplicamos
a Lo Suscitativo, El Trueno

~ 010 = 101
y
~ 100 = 011
Estas
transformaciones son parte de los apareamientos de los trigramas
en la Secuencia del Cielo Previo o secuencia premundana 6.
"Cielo
y Tierra determinan la dirección. La Montaña y el
Lago mantienen la unión de sus fuerzas. El Trueno y el Viento
se excitan mutuamente. El Agua y el Fuego no se combaten entre sí.
Así se sitúan, entreveradamente, los ocho signos."
Operador Unión
Este operador combinatorio
es binario, en el sentido de que surge un nuevo elemento
al combinar dos elementos.
Por ejemplo, podemos combinar
dos hexagramas para obtener un tercero.
Su nombre lógico es
OR (o inclusivo).
Veamos algunas de las notaciones
en uso al respecto:

En esta operación el
resultado es 1 cuando x ó y (o ambos) son 1. El resultado
será 0 cuando ambos x e y sean 0.
Ello se resume en la siguiente
tabla:

O, en el lenguaje de las líneas
de una estructura del I Ching:

La extensión a una estructura
con varias líneas se hace como antes línea por línea.
Por ejemplo, el resultado de
combinar por unión dos trigramas como Agua y Fuego:
Agua 010
Fuego 101
es 010 | 101 = 111
El trigrama
resultante puede verse como el resultado de unir las energías
yang de ambos trigramas.
Operador
Intersección
Este
también es un operador binario en el sentido ya comentado
de aplicarse a dos elementos para la obtención de un tercero.
Su nombre lógico es AND.
Es un
operador de 'coincidencia', en el sentido de que si ambos
elementos son yang (ó 1) el resultado será yang (ó
1), de otra manera será yin (ó 0).
Algunas de las notaciones en uso son:

En la siguiente
tabla resumimos la operatoria y su resultado:

O en el lenguaje de las líneas
de una estructura del I Ching:

Como para las operaciones anteriores
se extiende a las estructuras tomándolas línea por línea.
Por ejemplo, si combinamos a
través de este operador de coincidencia las energías
de Lo Sereno/El Lago con las de Lo Suave/El Viento obtendremos:

Hay energía yang resultante
cuando hay coincidencia de energía yang en ambos elementos,
en la misma posición estructural.
Así como las operaciones
de complemento y unión se consideran básicas estas de
intersección no lo son, en el sentido de poderse obtener mediante
una serie de operaciones de complemento y unión.
Se dice que la intersección
no es independiente (en tanto se han considerado independientes el
complemento y la unión).
Resultaría
así: x & y = ~(~x | ~y)
Comprobémoslo
a través de un ejemplo:
Si
x = 110 e y = 011 resultaría ~x
= 001 ; ~y = 100; ~x | ~y = 101
Y finalmente
~(~x | ~y) = 010 que era el valor obtenido
con anterioridad.
Operador
OR Exclusivo (XOR)
Es también
un operador binario, en el sentido expresado para el OR y el AND.
Su nombre
lógico es XOR.
Algunas
de sus notaciones en uso son:

En la operación XOR el
resultado es 1 (yang) solamente si una y nada más que una de
las entradas es 1, y el resultado es 0 (yin) de otra manera.
Entonces 1 ^ 0 =
1 y 0 ^ 1 = 1
Si lo expresamos en forma tabular
sería:

Esta operación puede ser
vista como una operación de diferencia simétrica.
En esta designación como
diferencia simétrica cada una de las dos palabras tiene
un significado propio.
Diferencia, alude a que
está basada la operación en operadores de diferencia
(no simétricos)
Veamos entonces primero que es
un tal operador de diferencia.
Es binario, en el sentido ya
indicado, o sea se aplica a dos elementos para obtener un tercero
como resultado de la operación.
Su notación es:
x - y que en función de
los anteriores operadores es:
x - y = x & (~y) x en intersección
con el complemento de y.
O sea, el operador diferencia
no es independiente una vez que aceptemos que dos de los operadores
como el complemento y la unión sí lo son. Es decir que
se puede expresar en función de ellos. Recordando que con esta
elección de operadores independientes (complemento y unión)
la intersección no es independiente:
x & y = ~(~x | ~y)
Podemos expresar la diferencia
x - y como:
x - y = x & (~y) = ~[
~x | ~(~y)]
y como la negación
de la negación es una afirmación: ~(~y) = y
x - y = ~(~x | y)
La tabla de x - y es:

La tabla que corresponde a
~(~x | y) sería:

El resultado es idéntico
verificando así la corrección de la expresión
anterior:
x - y = ~(~x | y)
Es más usual verla
en función de la intersección como ya se expresó:
x - y = x & (~y)
Este operador diferencia
es no conmutativo, los anteriores (unión e intersección)
si lo son, es decir:
x | y = y | x ; x & y =
y & x
en cambio: x - y ≠ y - x
como podemos verificar al
construir la tabla y comparar las columnas de resultado para x -
y = x & (~y) y para y - x = y & (~x)

Vemos que las dos últimas
columnas difieren, por lo tanto:
x - y ≠ y - x
Lo que
denominamos diferencia simétrica o sea el operador
XOR es la unión de estas dos diferencias:
x ^ y = (x - y) | (y - x) o sea:
x ^ y = [x & (~y)] | [y & (~x)]
En forma
tabular el proceso, paso a paso, sería:

Este operador diferencia
simétrica no es independiente en el sentido ya visto,
y es un operador conmutativo:
x ^ y = y ^ x
de allí
que agreguemos la palabra simétrica para diferenciarlo
de una diferencia simple (no conmutativa).
A modo
de ejemplo para su aplicación a un par de hexagramas, tomemos
el hexagrama 29- Lo Abismal, El Agua y el hexagrama 34- El Poder
de lo Grande:

La expresión binaria
para estos hexagramas es:
Hexagrama
29: 010010
Hexagrama
34: 111100
Aplicando
el operador XOR (diferencia simétrica) línea a línea,
como ya vimos, obtenemos:

Como resumen a todo lo visto
hasta ahora sobre operadores combinatorios agreguemos un par de
tablas:


(Continuará)
Notas y Referencias
(1)- ¿Cómo enfrentar el problema de una respuesta
del I Ching con muchas líneas móviles? (tercera y
cuarta parte).
(2)- "Teoría de Redes Booleanas aplicadas al I Ching".
(3)- "Tools for Change".
(4)- "Mutaciones, Ocho Lecciones sobre el I Ching".
(5)- "Leibniz Gottfried W. (1646-1716). Filósofo y matemático
alemán. Con independencia de Newton inventó el cálculo
infinitesimal y realizó contribuciones importantes a la teoría
dinámica del movimiento. Se le deben aportaciones de gran
originalidad al campo de la lógica, destacando su tentativa
de creación de un lenguaje universal que pudiera convertirse
en instrumento de descubrimiento, a este proyecto estaba asociada
la idea de una enciclopedia que abarcase todo el saber humano. Partidario
del atomismo, introdujo su teoría de las mónadas (átomos
espirituales) para obviar las paradojas del continuo físico,
y definió espacio y tiempo como relaciones, en lugar de sustancias".
(Gran Diccionario Salvat)
(6)- Richard Wilhelm. "I Ching, el Libro de las Mutaciones",
Ed. Edhasa, undécima reimpresión, 1990, pág.
353.
Autor: Ing. Raúl Jurovietzky
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